Toán 12 chương trình mới: Tuyển tập 45 câu trắc nghiệm đúng sai Hệ trục toạ độ Oxyz giải chi tiết dưới dạng file word (.docx). Một số câu đú...
Toán 12 chương trình mới: Tuyển tập 45 câu trắc nghiệm đúng sai Hệ trục toạ độ Oxyz giải chi tiết dưới dạng file word (.docx).
a) $A,\,\,B,\,\,C,\,\,D$ là 4 đỉnh của một hình tứ diện.
b) Độ dài đường cao của tam giác $ABC$, kẻ từ đỉnh $A$ bằng $\frac{\sqrt{6}}{2}$.
c) Thể tích tứ diện $ABCD$ bằng $\frac{15}{6}$.
d) Khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $(ABC)$ bằng $\frac{5\sqrt{6}}{6}$.
Lời giải
a) Đúng
Ta có $\overrightarrow{BA}=\left( 1;1;-1 \right),\,\,\overrightarrow{BC}=\left( 0;1;-2 \right),\,\,\overrightarrow{BD}=\left( 3;1;-4 \right)$. Suy ra $\left[ \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC} \right]=\left( -1;2;1 \right)$, $\left[ \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC} \right].\overrightarrow{BD}=-5\ne 0$.
Do đó 4 điểm $A,\,B,\,C,\,D$ không đồng phẳng, nên nó là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) Sai
Ta có diện tích tam giác $ABC$ là ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC} \right] \right|=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$
Suy ra độ dài đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $ABC$ là: $AH=\frac{2{{S}_{ABC}}}{BC}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$
c) Sai
Thể tích khối tứ diện $ABCD$ là ${{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC} \right].\overrightarrow{BD} \right|=\frac{5}{6}$
d) Đúng
Khoảng cách từ $D$ đến $\left( ABC \right)$ bằng độ dài đường cao kẻ từ $D$ xuống đáy $ABC$.
Suy ra $d\left( D,\left( ABC \right) \right)=\frac{3{{V}_{ABCD}}}{{{S}_{ABC}}}=\frac{5}{\sqrt{6}}=\frac{5\sqrt{6}}{6}$.
Câu 25: Trong không gian Oxyz cho ba vectơ $\vec{u}=\left( 1;8;6 \right),\vec{v}=\left( -1;3;-2 \right),\vec{w}=\left( 0;11;4 \right)$ a) Toạ độ của vectơ $\vec{u}-2\vec{v}$ là $\left( 1;5;5 \right)$.
b) Toạ độ của vectơ $\vec{u}-2\vec{v}+\vec{w}$ là $\left( -1;6;7 \right)$.
c) Độ dài của vectơ $\vec{u}+\vec{v}$ bằng 15.
d) $\vec{u}+\vec{v}-\vec{w}=\vec{0}$.
Lời giải
a) Sai
Ta có toạ độ của vectơ $\vec{u}-2\vec{v}$ là $\left( 3;2;10 \right)$.
b) Sai
Ta có toạ độ của vectơ $\vec{u}-2\vec{v}+\vec{w}$ là $\left( 3;13;14 \right)$.
c) Sai
Ta có tọa độ của vectơ $\vec{u}+\vec{v}$ là $\left( 0;11;4 \right)$. Suy ra $\left| \vec{u}+\vec{v} \right|=\sqrt{{{0}^{2}}+{{11}^{2}}+{{4}^{2}}}=\sqrt{137}$
d) Đúng
Ta có tọa độ của vectơ $\vec{u}+\vec{v}$ là $\left( 0;11;4 \right)$ do đó $\vec{u}+\vec{v}-\vec{w}=\vec{0}$.
Câu 26: Trong không gian $Oxyz$, cho 3 điểm $A\left( 1;0;1 \right),B\left( 0;-3;1 \right),C\left( 4;-1;4 \right)$.
a) $A,B,C$ là 3 đỉnh của một tam giác.
b) Tam giác ABC là tam giác vuông.
c) $\cos \widehat{ABC}$ bằng $\frac{\sqrt{29}}{29}$.
d) Tọa độ chân đường phân giác trong đỉnh A là $\left( \frac{4}{\sqrt{29}};\frac{-4}{\sqrt{29}};\frac{5}{\sqrt{29}} \right)$.
Lời giải
a) Đúng
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( -1;-3;0 \right),\overrightarrow{AC}=\left( 3;-1;3 \right)$. Suy ra $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ không cùng phương, do đó$A,B,C$ là 3 đỉnh của một tam giác.
b) Đúng
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( -1;-3;0 \right),\overrightarrow{AC}=\left( 3;-1;3 \right)$. Suy ra $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-1.3+\left( -3 \right).\left( -1 \right)+0.3=0$
Do đó $\overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{AC}\Rightarrow AB\bot AC$. Suy ra tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
c) Sai
Ta có $\overrightarrow{BA}=\left( 1;3;0 \right),\overrightarrow{BC}=\left( 4;2;3 \right)$
Ta có $\cos \widehat{ABC}=\frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{\left| \overrightarrow{BA} \right|.\left| \overrightarrow{BC} \right|}=\frac{1.4+3.2+0.3}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}+{{0}^{2}}}.\sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\frac{10}{\sqrt{10}.\sqrt{29}}=\frac{\sqrt{290}}{29}$
d) Sai
Gọi M là chân đường phân giác kẻ từ A, ta có $\frac{\overrightarrow{MB}}{\overrightarrow{MC}}=-\frac{AB}{AC}$ $\Rightarrow \overrightarrow{MB}=-\frac{AB}{AC}.\overrightarrow{MC}$ $\Rightarrow \overrightarrow{MB}+\frac{AB}{AC}.\overrightarrow{MC}=\vec{0}$$\Rightarrow \overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\frac{AB}{AC}.\left( \overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC} \right)=\vec{0}$$\Rightarrow \overrightarrow{OB}+\frac{AB}{AC}.\overrightarrow{OC}=\left( 1+\frac{AB}{AC} \right).\overrightarrow{OM}$ $\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\frac{AC}{AC+AB}.\left( \overrightarrow{OB}+\frac{AB}{AC}.\overrightarrow{OC} \right)$
Ta có $AB=\sqrt{10},AC=\sqrt{19}$
Do đó $\overrightarrow{OM}=\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{10}+\sqrt{19}}.\left( \overrightarrow{OB}+\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{19}}.\overrightarrow{OC} \right)=\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{10}+\sqrt{19}}.\overrightarrow{OB}+\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}+\sqrt{19}}.\overrightarrow{OC}$ $=\left( \frac{4\sqrt{10}}{\sqrt{10}+\sqrt{19}};\frac{-3\sqrt{19}-\sqrt{10}}{\sqrt{10}+\sqrt{19}};\frac{\sqrt{19}+4\sqrt{10}}{\sqrt{10}+\sqrt{19}} \right)$
Câu 27: Trong không gian $Oxyz$, cho $M\left( 8\,;4\,;3 \right)$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau
a) Hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Ox$ là điểm $\left( 0\,;4\,;3 \right)$.
b) Hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Oz$ là điểm $\left( 0\,;0\,;3 \right)$.
c) Hình chiếu vuông góc của $M$ trên mặt phẳng $Oxz$ là điểm $\left( 8\,;0\,;3 \right)$.
d) $\overrightarrow{OM}=8\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}$.
Lời giải
a) Sai. Hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Ox$ là điểm $\left( 8\,;0\,;0 \right)$.
b) Đúng. Hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Oz$ là điểm $\left( 0\,;0\,;3 \right)$.
c) Đúng. Hình chiếu vuông góc của $M$ trên mặt phẳng $Oxz$ là điểm $\left( 8\,;0\,;3 \right)$.
d) Đúng. Vì $\overrightarrow{OM}=\left( 8\,;4\,;3 \right)$ nên $\overrightarrow{OM}=8\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}$.[Download ##download##]
Một số câu đúng sai Oxyz
Câu 24: Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A\left( 0;1;1 \right),\,\,B\left( -1;0;2 \right),\,\,C\left( -1;1;0 \right),\,\,D\left( 2;1;-2 \right)$.a) $A,\,\,B,\,\,C,\,\,D$ là 4 đỉnh của một hình tứ diện.
b) Độ dài đường cao của tam giác $ABC$, kẻ từ đỉnh $A$ bằng $\frac{\sqrt{6}}{2}$.
c) Thể tích tứ diện $ABCD$ bằng $\frac{15}{6}$.
d) Khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $(ABC)$ bằng $\frac{5\sqrt{6}}{6}$.
Lời giải
a) Đúng
Ta có $\overrightarrow{BA}=\left( 1;1;-1 \right),\,\,\overrightarrow{BC}=\left( 0;1;-2 \right),\,\,\overrightarrow{BD}=\left( 3;1;-4 \right)$. Suy ra $\left[ \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC} \right]=\left( -1;2;1 \right)$, $\left[ \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC} \right].\overrightarrow{BD}=-5\ne 0$.
Do đó 4 điểm $A,\,B,\,C,\,D$ không đồng phẳng, nên nó là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) Sai
Ta có diện tích tam giác $ABC$ là ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC} \right] \right|=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$
Suy ra độ dài đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $ABC$ là: $AH=\frac{2{{S}_{ABC}}}{BC}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$
c) Sai
Thể tích khối tứ diện $ABCD$ là ${{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC} \right].\overrightarrow{BD} \right|=\frac{5}{6}$
d) Đúng
Khoảng cách từ $D$ đến $\left( ABC \right)$ bằng độ dài đường cao kẻ từ $D$ xuống đáy $ABC$.
Suy ra $d\left( D,\left( ABC \right) \right)=\frac{3{{V}_{ABCD}}}{{{S}_{ABC}}}=\frac{5}{\sqrt{6}}=\frac{5\sqrt{6}}{6}$.
Câu 25: Trong không gian Oxyz cho ba vectơ $\vec{u}=\left( 1;8;6 \right),\vec{v}=\left( -1;3;-2 \right),\vec{w}=\left( 0;11;4 \right)$ a) Toạ độ của vectơ $\vec{u}-2\vec{v}$ là $\left( 1;5;5 \right)$.
b) Toạ độ của vectơ $\vec{u}-2\vec{v}+\vec{w}$ là $\left( -1;6;7 \right)$.
c) Độ dài của vectơ $\vec{u}+\vec{v}$ bằng 15.
d) $\vec{u}+\vec{v}-\vec{w}=\vec{0}$.
Lời giải
a) Sai
Ta có toạ độ của vectơ $\vec{u}-2\vec{v}$ là $\left( 3;2;10 \right)$.
b) Sai
Ta có toạ độ của vectơ $\vec{u}-2\vec{v}+\vec{w}$ là $\left( 3;13;14 \right)$.
c) Sai
Ta có tọa độ của vectơ $\vec{u}+\vec{v}$ là $\left( 0;11;4 \right)$. Suy ra $\left| \vec{u}+\vec{v} \right|=\sqrt{{{0}^{2}}+{{11}^{2}}+{{4}^{2}}}=\sqrt{137}$
d) Đúng
Ta có tọa độ của vectơ $\vec{u}+\vec{v}$ là $\left( 0;11;4 \right)$ do đó $\vec{u}+\vec{v}-\vec{w}=\vec{0}$.
Câu 26: Trong không gian $Oxyz$, cho 3 điểm $A\left( 1;0;1 \right),B\left( 0;-3;1 \right),C\left( 4;-1;4 \right)$.
a) $A,B,C$ là 3 đỉnh của một tam giác.
b) Tam giác ABC là tam giác vuông.
c) $\cos \widehat{ABC}$ bằng $\frac{\sqrt{29}}{29}$.
d) Tọa độ chân đường phân giác trong đỉnh A là $\left( \frac{4}{\sqrt{29}};\frac{-4}{\sqrt{29}};\frac{5}{\sqrt{29}} \right)$.
Lời giải
a) Đúng
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( -1;-3;0 \right),\overrightarrow{AC}=\left( 3;-1;3 \right)$. Suy ra $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ không cùng phương, do đó$A,B,C$ là 3 đỉnh của một tam giác.
b) Đúng
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( -1;-3;0 \right),\overrightarrow{AC}=\left( 3;-1;3 \right)$. Suy ra $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-1.3+\left( -3 \right).\left( -1 \right)+0.3=0$
Do đó $\overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{AC}\Rightarrow AB\bot AC$. Suy ra tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
c) Sai
Ta có $\overrightarrow{BA}=\left( 1;3;0 \right),\overrightarrow{BC}=\left( 4;2;3 \right)$
Ta có $\cos \widehat{ABC}=\frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{\left| \overrightarrow{BA} \right|.\left| \overrightarrow{BC} \right|}=\frac{1.4+3.2+0.3}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}+{{0}^{2}}}.\sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\frac{10}{\sqrt{10}.\sqrt{29}}=\frac{\sqrt{290}}{29}$
d) Sai
Gọi M là chân đường phân giác kẻ từ A, ta có $\frac{\overrightarrow{MB}}{\overrightarrow{MC}}=-\frac{AB}{AC}$ $\Rightarrow \overrightarrow{MB}=-\frac{AB}{AC}.\overrightarrow{MC}$ $\Rightarrow \overrightarrow{MB}+\frac{AB}{AC}.\overrightarrow{MC}=\vec{0}$$\Rightarrow \overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\frac{AB}{AC}.\left( \overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC} \right)=\vec{0}$$\Rightarrow \overrightarrow{OB}+\frac{AB}{AC}.\overrightarrow{OC}=\left( 1+\frac{AB}{AC} \right).\overrightarrow{OM}$ $\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\frac{AC}{AC+AB}.\left( \overrightarrow{OB}+\frac{AB}{AC}.\overrightarrow{OC} \right)$
Ta có $AB=\sqrt{10},AC=\sqrt{19}$
Do đó $\overrightarrow{OM}=\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{10}+\sqrt{19}}.\left( \overrightarrow{OB}+\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{19}}.\overrightarrow{OC} \right)=\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{10}+\sqrt{19}}.\overrightarrow{OB}+\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}+\sqrt{19}}.\overrightarrow{OC}$ $=\left( \frac{4\sqrt{10}}{\sqrt{10}+\sqrt{19}};\frac{-3\sqrt{19}-\sqrt{10}}{\sqrt{10}+\sqrt{19}};\frac{\sqrt{19}+4\sqrt{10}}{\sqrt{10}+\sqrt{19}} \right)$
Câu 27: Trong không gian $Oxyz$, cho $M\left( 8\,;4\,;3 \right)$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau
a) Hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Ox$ là điểm $\left( 0\,;4\,;3 \right)$.
b) Hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Oz$ là điểm $\left( 0\,;0\,;3 \right)$.
c) Hình chiếu vuông góc của $M$ trên mặt phẳng $Oxz$ là điểm $\left( 8\,;0\,;3 \right)$.
d) $\overrightarrow{OM}=8\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}$.
Lời giải
a) Sai. Hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Ox$ là điểm $\left( 8\,;0\,;0 \right)$.
b) Đúng. Hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Oz$ là điểm $\left( 0\,;0\,;3 \right)$.
c) Đúng. Hình chiếu vuông góc của $M$ trên mặt phẳng $Oxz$ là điểm $\left( 8\,;0\,;3 \right)$.
d) Đúng. Vì $\overrightarrow{OM}=\left( 8\,;4\,;3 \right)$ nên $\overrightarrow{OM}=8\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}$.
