Công thức Bayes trong Lí thuyết xác suất

Công thức Bayes (đặt tên theo nhà toán học Thomas Bayes, 1701-1761) đóng vai trò quan trọng trong Lí thuyết Xác suất. Công thức này cho ta t...

Công thức Bayes (đặt tên theo nhà toán học Thomas Bayes, 1701-1761) đóng vai trò quan trọng trong Lí thuyết Xác suất. Công thức này cho ta tính $P(A | B)$ khi biết $P(B | A)$ và $P(A).$

Công thức Bayes

Cho $A$ và $B$ là hai biến cố, với $P(B) > 0.$
Khi đó, ta có công thức sau: $$P(A|B)=\frac{P(A)\cdot P(B|A)} {P(A)\cdot P(B|A)+P(\bar{A})\cdot P(B|\bar{A})}.$$ Công thức trên có tên là công thức Bayes.

Dạng thu gọn

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có $P(B) = P(A)\cdot P(B|A)+P(\bar{A})\cdot P(B|\bar{A}) .$
Do đó, công thức Bayes còn có thể viết dưới dạng: $$P(A|B)=\frac{P(A)\cdot P(B|A)} {P(B)}.$$

Ý nghĩa của công thức Bayes

Một nhà nghiên cứu quan tâm đến xác suất xảy ra của biến cố $A.$ Theo tính toán ban đầu $A $ có xác suất là $P(A) = p.$ Sau đó, nhà nghiên cứu có được thông tin rằng: “Biến cố $B$ đã xảy ra”. Với thông tin mới này, nhà nghiên cứu sẽ cập nhật lại hiểu biết của mình về khả năng xảy ra biến cố $A$, bằng cách tính $P(A | B)$, xác suất của $A$ khi biết $B$ đã xảy ra. Công thức Bayes cho ta tính $P(A | B).$