Công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử và tính chất liên quan $C_n^k$

Công thức tính số các tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử và một số tính chất liên quan. Công thức tính Số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử đượ...

Công thức tính số các tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử và một số tính chất liên quan.

Công thức tính

Số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử được kí hiệu là $C_n^k$ hoặc phổ biến hơn ở các sách tiếng Anh là ${n \choose k}$.

Ta có công thức $$C_n^k=\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k.(k-1)...1}.$$ Với kí hiệu giai thừa $p!=p(p-1)...1$ thì ta có thể viết lại $$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$ trong đó $0\le k \le n$.

Ví dụ

a) $C_6^3=\dfrac{6.5.4}{3.2.1}=20,$
b) $C_9^5=\dfrac{9.8.7.6.5}{5.4.3.2.1}=126,$
c) $C_{100}^2=\dfrac{100.99}{2.1}=4950.$

Tính chất cơ bản

a) $C_n^0=C_n^n=1$
b) $C_n^1=C_n^{n-1}=n$
c) $C_n^2=\dfrac{n(n-1)}{2}$
d) $C_n^k=C_n^{n-k}$
e) $C_n^k=\dfrac{n-k+1}{k}C_n^{k-1}$
f) $C_n^0+C_n^1+C_n^2+...+C_n^n=2^n$
Ý nghĩa tính chất f): tổng số tập con của một tập có $n$ phần tử.

Công thức Pascal

$$C_n^k=C_{n-1}^{k}+C_{n-1}^{k-1}.$$ Ví dụ.
a) $C_7^3+C_7^4=C_8^4=70,$
b) $C_9^5+C_9^6=C_{10}^6=210.$

Từ công thức Pascal và khai triển nhị thức Newton, ta có tam giác Pascal đã đề cập trong bài trước.

Xem thêm: Công thức chỉnh hợp, hoán vị