Câu hỏi số 1. Bốn góc của một tứ giác tạo thành cấp số nhân và góc lớn nhất gấp $27$ lần góc nhỏ nhất. Tính tổng số đo (đơn vị: độ) của gó...
Câu hỏi số 1.
Bốn góc của một tứ giác tạo thành cấp số nhân và góc lớn nhất gấp $27$ lần góc nhỏ nhất. Tính tổng số đo (đơn vị: độ) của góc lớn nhất và góc bé nhất.Lời giải
Giả sử 4 góc $A, B, C, D$ (với $A \lt B \lt C\lt D$) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân (đơn vị: độ) thỏa yêu cầu với công bội $q.$
Ta có $\left\{ \begin{align} & A+B+C+D=360 \\ & D=27A \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & A\left( 1+q+{{q}^{2}}+{{q}^{3}} \right)=360 \\ & A{{q}^{3}}=27A \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & q=3 \\ & A=9 \\ & D=A{{q}^{3}}=243 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow A+D=252.$
Đáp số: $\boxed{252}.$
Câu hỏi số 2.
Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là $12\,\,288\,\,{\text{m}^{2}}$). Tính diện tích (đơn vị: $\text{m}^{2}$) mặt trên cùng.Lời giải
Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ 1) lập thành một cấp số nhân có công bội $q=\dfrac{1}{2}$ và ${{u}_{1}}=\dfrac{12\,288}{2}=6\,\,144.$ Khi đó diện tích mặt trên cùng là ${{u}_{11}}={{u}_{1}}{{q}^{10}}=\dfrac{6\,144}{{{2}^{10}}}=6.$
Đáp số: $\boxed{6}.$
Câu hỏi số 3.
Một tứ giác lồi có số đo các góc lập thành một cấp số nhân. Biết rằng số đo của góc nhỏ nhất bằng $\dfrac{1}{9}$ số đo của góc nhỏ thứ ba. Hãy tính số đo (đơn vị: độ) của góc lớn nhất trong tứ giác đó.Lời giải
Gọi các góc của tứ giác là $a,aq,a{{q}^{2}},a{{q}^{3}},$ trong đó $q>1.$
Theo giả thiết, ta có $a=\dfrac{1}{9}a{{q}^{2}}$ nên $q=3.$
Suy ra các góc của tứ giác là $a,3a,9a,27a.$
Vì tổng các góc trong tứ giác bằng $360^0$ nên ta có: $a+3a+9a+27a=360^0$ $\Leftrightarrow a=9^0$ $\Rightarrow 27a=27.9^0=243^0.$
Đáp số: $\boxed{243}.$
Câu hỏi số 4.
Cho cấp số nhân $\left( {{a}_{n}} \right)$ có ${{a}_{1}}=7,$ ${{a}_{6}}=224$ và ${{S}_{k}}=3577.$ Tính ${{a}_{k}}.$Lời giải
Ta có ${{a}_{6}}=224$ $\Leftrightarrow {{a}_{1}}{{q}^{5}}=224$ $\Rightarrow q=2$ (do ${{a}_{1}}=7$).
Do ${{S}_{k}}=\dfrac{{{a}_{1}}\left( 1-{{q}^{k}} \right)}{1-q}=7\left( {{2}^{k}}-1 \right)$ nên ${{S}_{k}}=3577$ $\Leftrightarrow 7\left( {{2}^{k}}-1 \right)=3577$ $\Leftrightarrow {{2}^{k}}={{2}^{9}}$ $\Leftrightarrow k=9.$
Suy ra ${a}_{9}={a}_{1}{q}^{8}=1792.$
Đáp số: $\boxed{1792}.$
Câu hỏi số 5.
Các số $x+6y,\text{ }5x+2y,\text{ }8x+y$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số $x-1,\text{ }y+2,~\text{ }x-3y$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tính ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}.$Lời giải
Theo giả thiết ta có $\left\{ \begin{align} & \left( x+6y \right)+\left( 8x+y \right)=2\left( 5x+2y \right) \\ & \left( x-1 \right)\left( x-3y \right)={{\left( y+2 \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=3y \\ & \left( 3y-1 \right)\left( 3y-3y \right)={{\left( y+2 \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=3y \\ & 0={{\left( y+2 \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=-6 \\ & y=-2 \\ \end{align} \right..$
Suy ra ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=40.$
Đáp số: $\boxed{40}.$
Câu hỏi số 6.
Ba số $x;\text{ }y;\text{ }z$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội $q$ khác $1;$ đồng thời các số $x;\text{ }2y;\text{ }3z$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai khác $0.$ Tìm giá trị của $30q$.Lời giải
$\left\{ \begin{align} & y=xq;\,\,\,z=x{{q}^{2}} \\ & x+3z=2\left( 2y \right) \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow x+3x{{q}^{2}}=4xq $ $\Rightarrow x\left( 3{{q}^{2}}-4q+1 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & 3{{q}^{2}}-4q+1=0 \\ \end{align} \right..$
+ Nếu $x=0\Rightarrow y=z=0\Rightarrow $ công sai của cấp số cộng $x;\,\,2y;\,\,3z$ bằng $0$ (vô lí).
+ Nếu $3{{q}^{2}}-4q+1=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & q=1 \\ & q=\dfrac{1}{3} \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow q=\dfrac{1}{3}$ (do $q\ne 1$).
$\Rightarrow 30q=10.$
Đáp số: $\boxed{10}.$
Câu hỏi số 7.
Cho $x,y$ là các số thực âm sao cho các số $x+6y,$ $5x+2y,$ $8x+y$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đồng thời, các số $x+\dfrac{5}{3},$ $y-1,$ $2x-3y$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tính $x+y.$Lời giải
+ Ba số $x+6y,5x+2y,8x+y$ lập thành cấp số cộng nên $\left( x+6y \right)+\left( 8x+y \right)=2\left( 5x+2y \right)\Leftrightarrow x=3y$.
+ Ba số $x+\dfrac{5}{3},y-1,2x-3y$ lập thành cấp số nhân nên $\left( x+\dfrac{5}{3} \right)\left( 2x-3y \right)={{\left( y-1 \right)}^{2}}$.
Thay $x=3y$ vào ta được $8{{y}^{2}}+7y-1=0\Leftrightarrow y=-1$ hoặc $y=\dfrac{1}{8}$ (loại).
Với $y=-1$ thì $x=-3$ ta có $x+y=-4.$
Đáp số: $\boxed{-4}.$
Câu hỏi số 8.
Cho 4 số nguyên dương trong đó 3 số đầu lập thành cấp số cộng, 3 số cuối lập thành cấp số nhân. Biết tổng số đầu và cuối là $37$, tổng 2 số hạng giữa là $36$. Tìm tổng bình phương của 4 số đó.Lời giải
Giả sử 4 số đó là $a,b,c,d$. Do $a,b,c$ lập thành CSC nên ta có $a+c=2b$. Do $b,c,d$ lập thành CSN nên ta có $b.d=c^2.$
Ngoài ra, $a+d=37, b+c=36.$ Từ đó ta giải ra được: $(a,b,c,d)=(12,16,20,25).$
Suy ra $a^2+b^2+c^2+d^2=1425.$
Đáp số: $\boxed{1425}.$
Xem thêm: + Lý thuyết: Định nghĩa, các công thức liên quan cấp số nhân (Phần 0).
+ Bài tập cấp số nhân có lời giải: Phần -2 / Phần -1 / Phần 1 / Phần 2 / Phần 3 - Phần 4 - Phần 5.
