Bài tập 8. Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có số hạng tổng quát là ${{u}_{n}}=3n-2$ . Tìm công sai $d$ của cấp số cộng. A. $d...
Bài tập 8.
Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có số hạng tổng quát là ${{u}_{n}}=3n-2$ . Tìm công sai $d$ của cấp số cộng.A. $d=3$ .
B. $d=2$ .
C. $d=-2$ .
D. $d=-3$ .
Lời giải
Chọn A
Ta có ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=3\left( n+1 \right)-2-3n+2=3.$
Suy ra $d=3$ là công sai của cấp số cộng.
Bài tập 9.
Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=-3$ , ${{u}_{6}}=27$ . Tính công sai $d$ .A. $d=7$ .
B. $d=5$ .
C. $d=8$ .
D. $d=6$ .
Lời giải
Chọn D
Ta có ${{u}_{6}}={{u}_{1}}+5d=27\Rightarrow d=6$ .
Bài tập 10.
Cho dãy số vô hạn ${\left\{ {{u}_{n}} \right\}}$ là cấp số cộng có công sai ${d}$, số hạng đầu ${{{u}_{1}}}$. Hãy chọn khẳng định sai?A. ${{{u}_{5}}=\dfrac{{{u}_{1}}+{{u}_{9}}}{2}}$.
B. ${{u}_{n}}={{u}_{n-1}}+d$, $n\ge 2$.
C. ${{S}_{12}}=\dfrac{n}{2}\left( 2{{u}_{1}}+11d \right)$.
D. ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+(n-1).d$, $\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.
Lời giải
Chọn C
Ta có công thức tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: ${{S}_{n}}=n{{u}_{1}}+\dfrac{n\left( n-1 \right)d}{2}.$
Suy ra ${{S}_{12}}=12{{u}_{1}}+\dfrac{12.11.d}{2}$$=6\left( 2{{u}_{1}}+11d \right)$$\ne \dfrac{n}{2}\left( 2{{u}_{1}}+11d \right)$.
Bài tập 11.
Cho một cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=5$ và tổng của $50$ số hạng đầu bằng $5150$. Tìm công thức của số hạng tổng quát ${{u}_{n}}$.A. ${{u}_{n}}=1+4n$.
B. ${{u}_{n}}=5n$.
C. ${{u}_{n}}=3+2n$.
D. ${{u}_{n}}=2+3n$.
Lời giải
Chọn A
Ta có: ${{S}_{50}}=\dfrac{50}{2}\left( 2{{u}_{1}}+49d \right)=5150$$\Rightarrow d=4$.
Số hạng tổng quát của cấp số cộng bằng ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d=1+4n$.
Bài tập 12.
Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{align} & {{u}_{4}}=10 \\ & {{u}_{4}}+{{u}_{6}}=26 \\ \end{align} \right.$ có công sai làA. $d=-3$.
B. $d=3$.
C. $d=5$.
D. $d=6$.
Lời giải
Chọn B Gọi $d$ là công sai.
Ta có: $\left\{ \begin{align} & {{u}_{4}}=10 \\ & {{u}_{4}}+{{u}_{6}}=26 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+3d=10 \\ & 2{{u}_{1}}+8d=26 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=1 \\ & d=3 \\ \end{align} \right.$
Vậy công sai $d=3$.
Bài tập 13.
Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{5}}=-15$, ${{u}_{20}}=60$. Tổng của $10$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là:A. ${{S}_{10}}=-125$.
B. ${{S}_{10}}=-250$.
C. ${{S}_{10}}=200$.
D. ${{S}_{10}}=-200$.
Lời giải
Chọn A
Gọi ${{u}_{1}}$, $d$ lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.
Ta có: $\left\{ \begin{align} & {{u}_{5}}=-15 \\ & {{u}_{20}}=60 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow $ $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+4d=-15 \\ & {{u}_{1}}+19d=60 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow $$\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=-35 \\ & d=5 \\ \end{align} \right.$.
Vậy ${{S}_{10}}=\dfrac{10}{2}.\left( 2{{u}_{1}}+9d \right)$$=5.\left[ 2.\left( -35 \right)+9.5 \right]$$=-125$.
Bài tập 14.
Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{4}}=-12$, ${{u}_{14}}=18$. Tính tổng $16$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng này.A. ${{S}_{16}}=-24$.
B. ${{S}_{16}}=26$.
C. ${{S}_{16}}=-25$.
D. ${{S}_{16}}=24$.
Lời giải
Chọn D
Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng. Theo giả thiết, ta có
$\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+3d=-12 \\ & {{u}_{1}}+13d=18 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=-21 \\ & d=3 \\ \end{align} \right.$.
Khi đó, ${{S}_{16}}=\dfrac{\left( 2{{u}_{1}}+15d \right).16}{2}$ $=8\left( -42+45 \right)=24$.
Bài tập 15.
Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của ${{u}_{1}}{{u}_{2}}+{{u}_{2}}{{u}_{3}}+{{u}_{3}}{{u}_{1}}$.A. $-20$.
B. $-6$.
C. $-8$.
D. $-24$.
Lời giải
Chọn D
Ta gọi $d$ là công sai của cấp số cộng.
${{u}_{1}}{{u}_{2}}+{{u}_{2}}{{u}_{3}}+{{u}_{3}}{{u}_{1}}=4\left( 4+d \right)+\left( 4+d \right)\left( 4+2d \right)+4\left( 4+2d \right)$ $=2{{d}^{2}}+24d+48=2{{\left( d+6 \right)}^{2}}-24\ge -24$.
Dấu "$=$" xảy ra khi $d=-6$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của ${{u}_{1}}{{u}_{2}}+{{u}_{2}}{{u}_{3}}+{{u}_{3}}{{u}_{1}}$ là $-24$.
Xem thêm: + Lí thuyết: định nghĩa, công thức cấp số cộng.
+ Bài tập Cấp số cộng có lời giải: Phần 1 - Phần 2 - Phần 3 - Phần 4 - Phần 5 - Phần 6 - Phần 7.
