Cấp số nhân là gì? Định nghĩa cấp số nhân, Công thức cấp số nhân, Tính chất cấp số nhân (SGK Toán lớp 11 chương trình mới)? Công thức số hạn...
Cấp số nhân là gì? Định nghĩa cấp số nhân, Công thức cấp số nhân, Tính chất cấp số nhân (SGK Toán lớp 11 chương trình mới)? Công thức số hạng tổng quát, công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên.
Số $q$ được gọi là công bội của cấp số nhân.
$\bullet $ Khi $q=1,$ cấp số nhân có dạng ${{u}_{1}},\text{ }{{u}_{1}},\text{ }{{u}_{1}},\text{ }...,\text{ }{{u}_{1}},\text{ }...$
$\bullet $ Khi ${{u}_{1}}=0$ thì với mọi $q,$ cấp số nhân có dạng $0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }...,\text{ }0,\text{ }...$
Chú ý: Nếu $q=1$ thì cấp số nhân là ${{u}_{1}},\text{ }{{u}_{1}},\text{ }{{u}_{1}},\text{ }...,\text{ }{{u}_{1}},\text{ }...$ khi đó ${{S}_{n}}=n{{u}_{1}}.$
Xem thêm: + Lý thuyết: Định nghĩa, các công thức liên quan cấp số nhân (Phần 0).
+ Bài tập cấp số nhân có lời giải: Phần -2 / Phần -1 / Phần 1 / Phần 2 / Phần 3 - Phần 4 - Phần 5.
Định nghĩa cấp số nhân
Định nghĩa
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi $q.$Số $q$ được gọi là công bội của cấp số nhân.
Công thức
Nếu $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số nhân với công bội $q,$ ta có công thức truy hồi: ${{u}_{n+1}}={{u}_{n}}q$ với mọi $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$Đặc biệt
$\bullet $ Khi $q=0,$ cấp số nhân có dạng ${{u}_{1}},\text{ }0,\text{ }0,\text{ }...,\text{ }0,\text{ }...$$\bullet $ Khi $q=1,$ cấp số nhân có dạng ${{u}_{1}},\text{ }{{u}_{1}},\text{ }{{u}_{1}},\text{ }...,\text{ }{{u}_{1}},\text{ }...$
$\bullet $ Khi ${{u}_{1}}=0$ thì với mọi $q,$ cấp số nhân có dạng $0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }...,\text{ }0,\text{ }...$
Công thức số hạng tổng quát
Định lí 1. Nếu cấp số nhân có số hạng đầu ${{u}_{1}}$ và công bội $q$ thì số hạng tổng quát ${{u}_{n}}$ được tính bởi công thức ${{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}$ với $n\ge 2.$Tính chất cấp số nhân
Định lí 2. Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là $u_{k}^{2}={{u}_{k-1}}.{{u}_{k+1}}$ với $k\ge 2.$Tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân
Định lí 3. Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ với công bội $q\ne 1.$ Đặt ${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}.$ Khi đó $S_n=u_1.\dfrac{1-q^n}{1-q}.$Chú ý: Nếu $q=1$ thì cấp số nhân là ${{u}_{1}},\text{ }{{u}_{1}},\text{ }{{u}_{1}},\text{ }...,\text{ }{{u}_{1}},\text{ }...$ khi đó ${{S}_{n}}=n{{u}_{1}}.$
Xem thêm: + Lý thuyết: Định nghĩa, các công thức liên quan cấp số nhân (Phần 0).
+ Bài tập cấp số nhân có lời giải: Phần -2 / Phần -1 / Phần 1 / Phần 2 / Phần 3 - Phần 4 - Phần 5.
