Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân Định lí. Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ với công bội $q\ne 1.$ Đặt ${{S...
Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
Định lí. Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ với công bội $q\ne 1.$ Đặt ${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}.$ Khi đó $S_n=u_1.\dfrac{1-q^n}{1-q}.$Chú ý: Nếu $q=1$ thì cấp số nhân là ${{u}_{1}},\text{ }{{u}_{1}},\text{ }{{u}_{1}},\text{ }...,\text{ }{{u}_{1}},\text{ }...$ Khi đó ${{S}_{n}}=n{{u}_{1}}.$
Một số ví dụ có lời giải
Ví dụ 1a.
Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết số hạng đầu bằng $18$, số hạng thứ hai bằng $54$ và số hạng cuối bằng $39366$.Lời giải.
${{u}_{1}}=18,{{u}_{2}}=54 \Rightarrow q=3.$
${{u}_{n}}=39366\Leftrightarrow {{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}=39366$ $\Leftrightarrow {{18.3}^{n-1}}=39366$ $\Leftrightarrow {{3}^{n-1}}={{3}^{7}}\Leftrightarrow n=8$ .
Vậy ${{\text{S}}_{8}}=18.\dfrac{1-{{3}^{8}}}{1-3}=59040.$
Ví dụ 1b.
Cho cấp số nhân $({{u}_{n}})$ thỏa: $\left\{ \begin{align} & {{u}_{4}}=\dfrac{2}{27} \\ & {{u}_{3}}=243{{u}_{8}} \\ \end{align} \right.$.Tính tổng $10$ số hạng đầu của cấp số nhân.
Lời giải.
Gọi $q$ là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:
$\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}{{q}^{3}}=\dfrac{2}{27} \\ & {{u}_{1}}{{q}^{2}}=243.{{u}_{1}}{{q}^{7}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}{{q}^{3}}=\dfrac{2}{27} \\ & {{q}^{5}}=\dfrac{1}{243} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & q=\dfrac{1}{3} \\ & {{u}_{1}}=2 \\ \end{align} \right.$
Tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân:
${{S}_{10}}={{u}_{1}}\dfrac{1-{{q}^{10}}}{1-q}=2.\dfrac{{{1-\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{10}}}{1-\dfrac{1}{3}}$ $=3\left[ 1-{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{10}} \right]=\dfrac{59048}{19683}$.
Ví dụ 1c.
Tính tổng sau: ${{\text{S}}_{n}}={{\left( 2+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( 4+\dfrac{1}{4} \right)}^{2}}+...+{{\left( {{2}^{n}}+\dfrac{1}{{{2}^{n}}} \right)}^{2}}.$Lời giải.
$\begin{align} & {{\text{S}}_{n}}={{2}^{2}}+\dfrac{1}{{{2}^{2}}}+2+{{2}^{4}}+\dfrac{1}{{{2}^{4}}}+2+...+{{2}^{2n}}+\dfrac{1}{{{2}^{2n}}}+2 \\ & =\left( {{2}^{2}}+{{2}^{4}}+...+{{2}^{2n}} \right)+\left( \dfrac{1}{{{2}^{2}}}+\dfrac{1}{{{2}^{4}}}+...+\dfrac{1}{{{2}^{2n}}} \right)+2n \\ & =4.\dfrac{1-{{4}^{n}}}{1-4}+\dfrac{1}{4}\dfrac{1-\dfrac{1}{{{4}^{n}}}}{1-\dfrac{1}{4}}+2n \\ & =\dfrac{{{4}^{n}}-1}{3}\left( 4-\dfrac{1}{{{4}^{n}}} \right)+2n. \\ \end{align}$
Ví dụ 1d.
Tính tổng ${{S}_{n}}=8+88+888+...+\underbrace{88...8}_{n\ so\ 8}$Lời giải.
$\begin{align} &{{S}_{n}}=\dfrac{8}{9}\left( 9+99+999+\underbrace{99...9}_{n\ so\ 9} \right) \\ & =\dfrac{8}{9}\left( 10-1+{{10}^{2}}-1+{{10}^{3}}-1+...+{{10}^{n}}-1 \right) \\ \end{align}$ $\begin{align} & =\dfrac{8}{9}\left[ \left( 10+{{10}^{2}}+{{10}^{3}}+...+{{10}^{n}} \right)-n \right] \\ & =\dfrac{8}{9}\left( 10.\dfrac{1-{{10}^{n}}}{1-10}-n \right)\\ &=\dfrac{80\left( {{10}^{n}}-1 \right)}{81}-\dfrac{8}{9}n. \\ \end{align}$
Xem thêm: + Lý thuyết: Định nghĩa, các công thức liên quan cấp số nhân (Phần 0).
+ Bài tập cấp số nhân có lời giải: Phần -2 / Phần -1 / Phần 1 / Phần 2 / Phần 3 - Phần 4 - Phần 5.
