Công thức số hạng tổng quát cấp số nhân Công thức Nếu cấp số nhân có số hạng đầu ${{u}_{1}}$ và công bội $q$ thì số hạng tổng quát ${{u}_{...
Công thức số hạng tổng quát cấp số nhân
Công thức
Nếu cấp số nhân có số hạng đầu ${{u}_{1}}$ và công bội $q$ thì số hạng tổng quát ${{u}_{n}}$ (số hạng thứ $n$) được xác định bởi công thức ${{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}$ với $n\ge 2.$Hệ quả
Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là $u_{k}^{2}={{u}_{k-1}}.{{u}_{k+1}}$ với $k\ge 2.$Ví dụ áp dụng
Ví dụ 2a.
Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ với công bội $q \lt 0$ và ${{u}_{2}}=4,{{u}_{4}}=9$ . Tìm ${{u}_{1}}$ .A. ${{u}_{1}}=-\dfrac{8}{3}.$
B. ${{u}_{1}}=\dfrac{8}{3}.$
C. ${{u}_{1}}=-6.$
D. ${{u}_{1}}=6.$
Lời giải
Vì $q\lt 0,{{u}_{2}}>0$ nên ${{u}_{3}}\lt 0$. Do đó ${{u}_{3}}=-\sqrt{{{u}_{2}}.{{u}_{4}}}=-\sqrt{4.9}=-6$ ; $u_{2}^{2}={{u}_{1}}.{{u}_{3}}\Rightarrow {{u}_{1}}=\dfrac{u_{2}^{2}}{{{u}_{3}}}=\dfrac{{{4}^{2}}}{-6}=-\dfrac{8}{3}.$
Chọn đáp án A.
Ví dụ 2b.
Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ biết ${{u}_{1}}+{{u}_{5}}=51;{{u}_{2}}+{{u}_{6}}=102$ . Hỏi số $12288$ là số hạng thứ mấy của cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$?A. Số hạng thứ 10.
B. Số hạng thứ 11.
C. Số hạng thứ 12.
D. Số hạng thứ 13.
Lời giải
Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân đã cho. Theo đề bài, ta có
$\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+{{u}_{5}}=51 \\ & {{u}_{2}}+{{u}_{6}}=102 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}\left( 1+{{q}^{4}} \right)=51 \\ & {{u}_{1}}q\left( 1+{{q}^{4}} \right)=102 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow q=2\Rightarrow {{u}_{1}}=3\Rightarrow {{u}_{n}}={{3.2}^{n-1}}.$
Mặt khác ${{u}_{n}}=12288\Leftrightarrow {{3.2}^{n-1}}=12288$ $\Leftrightarrow {{2}^{n-1}}={{2}^{12}}\Leftrightarrow n=13.$
Chọn đáp án D.
Ví dụ 2c.
Cho cấp số nhân $({{u}_{n}})$ thỏa: $\left\{ \begin{align} & {{u}_{4}}=\dfrac{2}{27} \\ & {{u}_{3}}=243{{u}_{8}} \\ \end{align} \right.$.a) Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân.
A. ${{u}_{1}}=2,{{u}_{2}}=\dfrac{2}{5},{{u}_{3}}=\dfrac{2}{9};{{u}_{4}}=\dfrac{2}{27},{{u}_{5}}=\dfrac{2}{81}$
B. ${{u}_{1}}=1,{{u}_{2}}=\dfrac{2}{3},{{u}_{3}}=\dfrac{2}{9};{{u}_{4}}=\dfrac{2}{27},{{u}_{5}}=\dfrac{2}{81}$
C. ${{u}_{1}}=2,{{u}_{2}}=\dfrac{2}{3},{{u}_{3}}=\dfrac{2}{9};{{u}_{4}}=\dfrac{2}{27},{{u}_{5}}=\dfrac{2}{64}$
D. ${{u}_{1}}=2,{{u}_{2}}=\dfrac{2}{3},{{u}_{3}}=\dfrac{2}{9};{{u}_{4}}=\dfrac{2}{27},{{u}_{5}}=\dfrac{2}{81}$
b) Số $\dfrac{2}{6561}$ là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ?
A. 41
B. 12
C. 9
D. 3
Lời giải
Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân. Theo giả thiết ta có:
$\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}{{q}^{3}}=\dfrac{2}{27} \\ & {{u}_{1}}{{q}^{2}}=243.{{u}_{1}}{{q}^{7}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}{{q}^{3}}=\dfrac{2}{27} \\ & {{q}^{5}}=\dfrac{1}{243} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & q=\dfrac{1}{3} \\ & {{u}_{1}}=2 \\ \end{align} \right.$
a) Năm số hạng đầu của cấp số là:${{u}_{1}}=2,{{u}_{2}}=\dfrac{2}{3},{{u}_{3}}=\dfrac{2}{9};{{u}_{4}}=\dfrac{2}{27},{{u}_{5}}=\dfrac{2}{81}$.
b) Ta có: ${{u}_{n}}=\dfrac{2}{{{3}^{n-1}}}\Rightarrow {{u}_{n}}=\dfrac{2}{6561}$ $\Leftrightarrow {{3}^{n-1}}=6561={{3}^{8}}\Leftrightarrow n=9.$
Vậy $\dfrac{2}{6561}$ là số hạng thứ $9$ của cấp số nhân.
Ví dụ 2d.
Cho tứ giác ABCD có số đo 4 góc tạo thành 1 cấp số nhân có công bội bằng 2. Tìm số đo 4 góc đó.Lời giải
$\left\{ \begin{align} & {{U}_{1}}+{{U}_{2}}+{{U}_{3}}+{{U}_{4}}={{360}^{\circ}} \\ & q=2 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{U}_{1}}\dfrac{1-{{q}^{4}}}{1-q}={{360}^{\circ}} \\ & q=2 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{U}_{1}}={{24}^{\circ}} \\ & q=2 \\ \end{align} \right.$
Vậy số đo 4 góc của tứ giác là: $24^\circ, 48^\circ, 96^\circ, 192^\circ.$
Ví dụ 2e.
Cho 5 số lập thành một cấp số nhân. Biết công bội bằng một phần tư số hạng đầu tiên và tổng 2 số hạng đầu bằng 8. Tìm cấp số nhân đó.Lời giải
Ta có: $\left\{ \begin{align} & {{U}_{1}}+{{U}_{2}}=8 \\ & q=\dfrac{1}{4}{{U}_{1}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & U_{1}^{2}+4{{U}_{1}}=32 \\ & q=\dfrac{1}{4}{{U}_{1}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{U}_{1}}=-8 \\ & q=-2 \\ \end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align} & U_1=4 \\ & q=1 \\ \end{align} \right.$
Vậy CSN là: $-8, 16, -32, 64, -128$ hoặc $4,4,4,4,4.$
Ví dụ 2f.
Cho cấp số nhân có ${{u}_{1}}=-3$, $q=\dfrac{2}{3}$. Tính ${{u}_{5}}.$A. ${{u}_{5}}=\dfrac{-27}{16}.$
B. ${{u}_{5}}=\dfrac{-16}{27}.$
C. ${{u}_{5}}=\dfrac{16}{27}.$
D. ${{u}_{5}}=\dfrac{27}{16}.$
Lời giải
Chọn B.
Ta có: ${{u}_{5}}={{u}_{1}}.{{q}^{4}}=\left( -3 \right){{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{4}}=-\dfrac{16}{27}.$
Ví dụ 2g.
Cho cấp số nhân có ${{u}_{1}}=-3$, $q=\dfrac{2}{3}$. Số $\dfrac{-96}{243}$ là số hạng thứ mấy của cấp số này?A. Thứ 5.
B. Thứ 6.
C. Thứ 7.
D. Không phải là số hạng của cấp số.
Lời giải
Chọn B.
Giả sử số $\dfrac{-96}{243}$ là số hạng thứ $n$ của cấp số này.
Ta có: ${{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}=\dfrac{-96}{243}$ $\Leftrightarrow \left( -3 \right){{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{n-1}}=\dfrac{-96}{243}$ $\Leftrightarrow n=6$.
Vậy số $\dfrac{-96}{243}$ là số hạng thứ 6 của cấp số.
Ví dụ 2h.
Cho cấp số nhân có ${{u}_{2}}=\dfrac{1}{4}$ ; ${{u}_{5}}=16$. Tìm $q$ và ${{u}_{1}}$.A. $q=\dfrac{1}{2};\text{ }{{u}_{\text{1}}}=\dfrac{1}{2}.$
B. $q=-\dfrac{1}{2};\text{ }{{u}_{\text{1}}}=-\dfrac{1}{2}.$
C. $q=4;\text{ }{{u}_{\text{1}}}=\dfrac{1}{16}.$
D. $q=-4;\text{ }{{u}_{\text{1}}}=-\dfrac{1}{16}.$
Lời giải
Chọn C.
Ta có: ${{u}_{2}}={{u}_{1}}.q\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\dfrac{1}{4}={{u}_{1}}.q$ ; ${{u}_{5}}={{u}_{1}}.{{q}^{4}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }16={{u}_{1}}.{{q}^{4}}.$
Suy ra: ${{q}^{3}}=64\text{ }\Leftrightarrow \text{ }q=4$. Từ đó: ${{u}_{1}}=\dfrac{1}{16}.$
Xem thêm: + Lý thuyết: Định nghĩa, các công thức liên quan cấp số nhân (Phần 0).
+ Bài tập cấp số nhân có lời giải: Phần -2 / Phần -1 / Phần 1 / Phần 2 / Phần 3 - Phần 4 - Phần 5.
