Bài tập 37. Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$.Gọi ${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+\cdots +{{u}_{n}}.$ Biết rằng $\dfrac{{{S}_{p}}}{...
Bài tập 37.
Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$.Gọi ${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+\cdots +{{u}_{n}}.$ Biết rằng $\dfrac{{{S}_{p}}}{{{S}_{q}}}=\dfrac{{{p}^{2}}}{{{q}^{2}}}$ với $p\ne q$, $p,q\in {{N}^{*}}$. Tính giá trị biểu thức $\dfrac{{{u}_{2017}}}{{{u}_{2018}}}$. A. $\dfrac{4031}{4035}$.B. $\dfrac{4031}{4033}$.
C. $\dfrac{4033}{4035}$.
D. $\dfrac{4034}{4035}$.
Lời giải
Chọn C
Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng.
Ta có: $\dfrac{{{S}_{p}}}{{{S}_{q}}}=\dfrac{{{p}^{2}}}{{{q}^{2}}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{({{u}_{1}}+{{u}_{p}})p}{({{u}_{1}}+{{u}_{q}})q}=\dfrac{{{p}^{2}}}{{{q}^{2}}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{u}_{1}}+{{u}_{p}}}{{{u}_{1}}+{{u}_{q}}}=\dfrac{p}{q}.$
Do đó $\dfrac{{{u}_{1}}+{{u}_{2018}}}{{{u}_{1}}+{{u}_{2017}}}=\dfrac{2018}{2017}$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{u}_{1}}+{{u}_{2017}}+d}{{{u}_{1}}+{{u}_{2017}}}=\dfrac{2018}{2017}$ $\Leftrightarrow 1+\dfrac{d}{{{u}_{1}}+{{u}_{2017}}}=\dfrac{2018}{2017}$ $\Leftrightarrow \dfrac{d}{{{u}_{1}}+{{u}_{1}}+2016d}=\dfrac{1}{2017}$ $\Leftrightarrow d=2{{u}_{1}}$.
Vậy $\dfrac{{{u}_{2017}}}{{{u}_{2018}}}=\dfrac{{{u}_{1}}+2016.(2{{u}_{1}})}{{{u}_{1}}+2017.(2{{u}_{1}})}$ $=\dfrac{4033}{4035}$.
Bài tập 38.
Cho cấp số cộng có tổng $n$ số hạng đầu là ${{S}_{n}}=3{{n}^{2}}+4n$, $n\in \mathbb{N}^*$. Giá trị của số hạng thứ $10$ của cấp số cộng làA. ${{u}_{10}}=55$.
B. ${{u}_{10}}=67$.
C. ${{u}_{10}}=61$.
D. ${{u}_{10}}=59.$
Lời giải
Chọn C
Từ giả thiết ta có ${{S}_{1}}={{u}_{1}}={{3.1}^{2}}+4.1=7$.
Ta có ${{S}_{n}}=3{{n}^{2}}+4n=\dfrac{n\left( 8+6n \right)}{2}$ $=\dfrac{n\left( 7+6n+1 \right)}{2}$ $\Rightarrow {{u}_{n}}=6n+1$ $\Rightarrow {{u}_{10}}=61$.
Cách khác: $u_{10}=S_{10}-S_9=3.10^2+4.10-(3.9^2+4.9)=61.$
Bài tập 39.
Cho cấp số cộng có tổng $n$ số hạng đầu là ${{S}_{n}}=4{{n}^{2}}+3n$, $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ thì số hạng thứ 10 của cấp số cộng làA. ${{u}_{10}}=95$.
B. ${{u}_{10}}=71$.
C. ${{u}_{10}}=79$.
D. ${{u}_{10}}=87$.
Lời giải
Chọn C
Theo công thức ta có $\dfrac{n\left( {{u}_{1}}+{{u}_{n}} \right)}{2}=4{{n}^{2}}+3n$ $\Leftrightarrow {{u}_{1}}+{{u}_{n}}=8n+6$ $\Rightarrow {{u}_{n}}=-{{u}_{1}}+8n+6$.
Mà ${{u}_{1}}={{S}_{1}}=7$ do đó ${{u}_{10}}=-7+8.10+6=79$.
Cách khác: $u_{10}=S_{10}-S_9=4.10^2+3.10-(4.9^2+3.9)=79.$
Bài tập 40.
Người ta viết thêm $999$ số thực vào giữa số $1$ và số $2018$ để được cấp số cộng có $1001$ số hạng. Tìm số hạng thứ $501$.A. $1009$.
B. $\dfrac{2019}{2}$.
C. $1010$.
D. $\dfrac{2021}{2}$.
Lời giải
Chọn B
Áp dụng công thức cấp số cộng ta có:
${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d\Rightarrow {{u}_{1001}}={{u}_{1}}+\left( 1001-1 \right)d$ $\Leftrightarrow 2018=1+\left( 1001-1 \right)d\Rightarrow d=\dfrac{2017}{1000}$.
Vậy số hạng thứ $501$ là ${{u}_{501}}={{u}_{1}}+\left( 501-1 \right)d=\dfrac{2019}{2}$.
Bài tập 41.
Cho cấp số cộng có ${{u}_{1}}=1$ và công sai $d=-2$. Tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là ${{S}_{n}}=-9800$. Giá trị $n$ làA. $100$.
B. $99$.
C. $101$.
D. $98$.
Lời giải
Chọn A.
${{S}_{n}}=\dfrac{n}{2}\left( 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right)=-9800$ $\Leftrightarrow n\left[ 2-2\left( n-1 \right) \right]+19600=0$ $\Leftrightarrow n=100$.
Bài tập 42.
Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có các số hạng đều dương, số hạng đầu ${{u}_{1}}=1$ và tổng của $100$ số hạng đầu tiên bằng $14950$. Tính giá trị của tổng$S=\dfrac{1}{{{u}_{2}}\sqrt{{{u}_{1}}}+{{u}_{1}}\sqrt{{{u}_{2}}}}+\dfrac{1}{{{u}_{3}}\sqrt{{{u}_{2}}}+{{u}_{2}}\sqrt{{{u}_{3}}}}+$ $...+\dfrac{1}{{{u}_{2018}}\sqrt{{{u}_{2017}}}+{{u}_{2017}}\sqrt{{{u}_{2018}}}}$.
A. $\dfrac{1}{3}\left( 1-\dfrac{1}{\sqrt{6052}} \right)$.
B. $1-\dfrac{1}{\sqrt{6052}}$.
C. $2018$.
D. $1$.
Lời giải
Chọn A.
Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng. Khi đó:
${{S}_{100}}=100{{u}_{1}}+\dfrac{100.99}{2}d$ $\Leftrightarrow 100+4950d=14950\Leftrightarrow d=3$.
Do đó ${{u}_{2018}}={{u}_{1}}+2017d=6052$.
Ta có: $\dfrac{1}{{{u}_{k+1}}\sqrt{{{u}_{k}}}+{{u}_{k}}\sqrt{{{u}_{k+1}}}}$ $=\dfrac{1}{\sqrt{{{u}_{k}}}.\sqrt{{{u}_{k+1}}}.\left( \sqrt{{{u}_{k}}}+\sqrt{{{u}_{k+1}}} \right)}$ $=\dfrac{1}{d}.\dfrac{\sqrt{{{u}_{k+1}}}-\sqrt{{{u}_{k}}}}{\sqrt{{{u}_{k}}}.\sqrt{{{u}_{k+1}}}}$ $=\dfrac{1}{d}.\left( \dfrac{1}{\sqrt{{{u}_{k}}}}-\dfrac{1}{\sqrt{{{u}_{k+1}}}} \right)$. Do đó:
$S=\dfrac{1}{d}.\left( \dfrac{1}{\sqrt{{{u}_{1}}}}-\dfrac{1}{\sqrt{{{u}_{2}}}} \right)+\dfrac{1}{d}.\left( \dfrac{1}{\sqrt{{{u}_{2}}}}-\dfrac{1}{\sqrt{{{u}_{3}}}} \right)+$ $...+\dfrac{1}{d}.\left( \dfrac{1}{\sqrt{{{u}_{2017}}}}-\dfrac{1}{\sqrt{{{u}_{2018}}}} \right)$ $=\dfrac{1}{d}.\left( \dfrac{1}{\sqrt{{{u}_{1}}}}-\dfrac{1}{\sqrt{{{u}_{2018}}}} \right)$ $=\dfrac{1}{3}\left( 1-\dfrac{1}{\sqrt{6052}} \right)$.
Xem thêm: + Lí thuyết: định nghĩa, công thức cấp số cộng.
+ Bài tập Cấp số cộng có lời giải: Phần 1 - Phần 2 - Phần 3 - Phần 4 - Phần 5 - Phần 6 - Phần 7.
