Câu hỏi số 9. Ba số dương $x,y,z$ lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng $21$. Nếu lần lượt thêm các số $2;3;9$ vào ba số đó (theo thứ ...
Câu hỏi số 9.
Ba số dương $x,y,z$ lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng $21$. Nếu lần lượt thêm các số $2;3;9$ vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng) thì được ba số lập thành một cấp số nhân. Tính $F={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}.$Lời giải
Theo tính chất của cấp số cộng , ta có $x+z=2y$.
Kết hợp với giả thiết $x+y+z=21$, ta suy ra $3y=21\Leftrightarrow y=7$.
Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng thì $x=y-d=7-d$ và $z=y+d=7+d$.
Sau khi thêm các số $2;3;9$ vào ba số $x,y,z$ ta được ba số là $x+2,y+3,z+9$ hay $9-d,10,16+d$.
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có $\left( 9-d \right)\left( 16+d \right)={{10}^{2}}\Leftrightarrow {{d}^{2}}+7d-44=0$.
Giải phương trình ta được $d=-11$ hoặc $d=4$.
Với $d=-11$, cấp số cộng $18,7,-4$ (loại vì có một số âm).
Với $d=4$, cấp số cộng $3,7,11$. Lúc này $F=179$.
Đáp số: $\boxed{179}.$
Câu hỏi số 10.
Một người đem $100$ triệu đồng đi gửi tiết kiệm với kỳ hạn $7$ tháng, mỗi tháng lãi suất là $0,7%$ số tiền mà người đó có. Hỏi sau khi hết kỳ hạn, người đó được lĩnh về bao nhiêu tiền (đơn vị: triệu đồng)?Lời giải
Số tiền ban đầu là ${{M}_{0}}={100}$ (triệu đồng). Đặt $r=0,7%=0,007$.
Số tiền sau tháng thứ nhất là ${{M}_{1}}={{M}_{0}}+{{M}_{0}}r={{M}_{0}}\left( 1+r \right)$.
Số tiền sau tháng thứ hai là ${{M}_{2}}={{M}_{1}}+{{M}_{1}}r={{M}_{0}}{{\left( 1+r \right)}^{2}}$.
Lập luận tương tự, ta có số tiền sau tháng thứ bảy là ${{M}_{7}}={{M}_{0}}{{\left( 1+r \right)}^{7}}$.
Do đó ${{M}_{7}}={100}{\left( 1,007 \right)}^{7}\approx 105$.
Đáp số: $\boxed{105}.$
Câu hỏi số 11.
Cho dãy số tăng $a, b, c\,\,\left( c\in \mathbb{Z} \right)$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân; đồng thời $a, b+8, c$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng và $a, b+8, c+64$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính giá trị biểu thức $P=a-b+2c.$Lời giải
Ta có $\left\{ \begin{align} & ac={{b}^{2}} \\ & a+c=2\left( b+8 \right) \\ & a\left( c+64 \right)={{\left( b+8 \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & ac={{b}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & a-2b=16-c\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ & ac+64a={{\left( b+8 \right)}^{2}}\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \\ \end{align} \right..$
Thay (1) vào (3) ta được: ${{b}^{2}}+64a={{b}^{2}}+16b+64$ $\Leftrightarrow 4a-b=4\,\,\left( 4 \right).$
Kết hợp (2) với (4) ta được: $\left\{ \begin{align} & a-2b=16-c \\ & 4a-b=4 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=\dfrac{c-8}{7} \\ & b=\dfrac{4c-60}{7} \\ \end{align} \right.\,\,\,\,\,\left( 5 \right)$
Thay (5) vào (1) ta được: $7\left( c-8 \right)c={{\left( 4c-60 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow 9{{c}^{2}}-424c+3600=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & c=36 \\ & c=\dfrac{100}{9} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow c=36\,\,\left( c\in \mathbb{Z} \right).$
Với $c=36\Rightarrow a=4,\,\,b=12\Rightarrow P=4-12+72=64.$
Đáp số: $\boxed{64}.$
Câu hỏi số 12.
Cho bố số $a,\,\,b,\,\,c,\,\,d$ biết rằng $a,\,\,b,\,\,c$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân công bội $q>1$; còn $b,\,\,c,\,\,d$ theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Biết rằng $a+d=14$ và $b+c=12$, hãy tìm $q$ (làm tròn đến hàng phần trăm).Lời giải
Giả sử $a,\,b,\,c$ lập thành cấp số cộng công bội $q.$ Khi đó theo giả thiết ta có:
$\left\{ \begin{align} & b=aq,\,\,c=a{{q}^{2}} \\ & b+d=2c \\ & a+d=14 \\ & b+c=12 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & aq+d=2a{{q}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & a+d=14\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ & a\left( q+{{q}^{2}} \right)=12\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \\ \end{align} \right.$
+ Nếu $q=0\Rightarrow b=c=0=d$ (vô lí).
+ Nếu $q=-1\Rightarrow b=-a;\,c=a\Rightarrow b+c=0$ (vô lí).
Vậy $q\ne 0,\,\,q\ne -1,$ từ (2) và (3) ta có: $d=14-a$ và $a=\dfrac{12}{q+{{q}^{2}}}$ thay vào (1) ta được:
$\begin{matrix} \dfrac{12q}{q+{{q}^{2}}}+\dfrac{14{{q}^{2}}+14q-12}{q+{{q}^{2}}}=\dfrac{24{{q}^{3}}}{q+{{q}^{2}}}\Leftrightarrow 12{{q}^{3}}-7{{q}^{2}}-13q+6=0 \\ \Leftrightarrow \left( q+1 \right)\left( 12{{q}^{2}}-19q+6 \right)=0\Leftrightarrow q=\dfrac{19\pm \sqrt{73}}{24} \\ \end{matrix}$
Vì $q>1$ nên $q=\dfrac{19+\sqrt{73}}{24}\approx 1,15.$
Đáp số: $\boxed{1,15}.$
Câu hỏi số 13.
Một của hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng A với giá $100$ (đơn vị nghìn đồng). Sau đó, cửa hàng tăng giá mặt hàng A lên $10\%.$ Nhưng sau một thời gian, cửa hàng lại tiếp tục tăng giá mặt hàng đó lên $10\%.$ Hỏi giá của mặt hàng A của cửa hàng sau hai làn tăng giá là bao nhiêu?Lời giải
Sau lần tăng giá thứ nhất thì giá của mặt hàng $A$ là:${{M}_{1}}=100+100.10\%=110.$
Sau lần tăng giá thứ hai thì giá của mặt hàng $A$ là:${{M}_{2}}=110+110.10\%=121.$
Đáp số: $\boxed{121}.$
Xem thêm: + Lý thuyết: Định nghĩa, các công thức liên quan cấp số nhân (Phần 0).
+ Bài tập cấp số nhân có lời giải: Phần -2 / Phần -1 / Phần 1 / Phần 2 / Phần 3 - Phần 4 - Phần 5.
