Bài tập 11. Kết quả của tổng S=1+2.5+{{3.5}^{2}}+...+{{79.5}^{78}} được viết dưới dạng $a+\dfrac{315}{16}{{.5}^{b}}\left( a\in \mathbb{Q}...
Bài tập 11.
Kết quả của tổng S=1+2.5+{{3.5}^{2}}+...+{{79.5}^{78}} được viết dưới dạng a+\dfrac{315}{16}{{.5}^{b}}\left( a\in \mathbb{Q},b\in \mathbb{N} \right). Tính giá trị biểu thức P=a+\dfrac{b}{16}.A. P=4.
B. P=5.
C. P=\dfrac{79}{16}.
D. P=20.
Lời giải
Từ giả thiết suy ra 5S=3+{{2.5}^{2}}+{{3.5}^{3}}+...+{{79.5}^{79}} . Do đó
-4S=S-5S=1+5+{{5}^{2}}+...+{{5}^{78}}-{{10.5}^{79}} =\dfrac{1-{{5}^{79}}}{1-5}-{{79.5}^{79}} =-\dfrac{1}{4}-\dfrac{{{315.5}^{79}}}{4} \Rightarrow S=\dfrac{1}{16}+\dfrac{315}{16}{{.5}^{79}}.
Vì S=\dfrac{1}{16}+\dfrac{315}{16}{{.5}^{79}} =a+\dfrac{315}{16}{{.5}^{b}} \Rightarrow a=\dfrac{1}{16},\,\,b=79 \Rightarrow P=\dfrac{1}{16}+\dfrac{79}{16}=5.
Chọn đáp án B.
Bài tập 12.
Biết rằng S=1+2.3+{{3.3}^{2}}+...+{{11.3}^{10}}=a+\dfrac{{{21.3}^{b}}}{4}. Tính P=a+\dfrac{b}{4}.A. P=1.
B. P=2.
C. P=3.
D. P=4.
Lời giải
Từ giả thiết suy ra 3S=3+{{2.3}^{2}}+{{3.3}^{3}}+...+{{11.3}^{11}}. Do đó
-2S=S-3S=1+3+{{3}^{2}}+...+{{3}^{10}}-{{10.3}^{11}} =\dfrac{1-{{3}^{11}}}{1-3}-{{11.3}^{11}}=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{{{21.3}^{11}}}{2} \Rightarrow S=\dfrac{1}{4}+\dfrac{21}{4}{{.3}^{11}}.
Vì S=\dfrac{1}{4}+\dfrac{{{21.3}^{11}}}{4}=a+\dfrac{{{21.3}^{b}}}{4} \Rightarrow a=\dfrac{1}{4},\,\,b=11\xrightarrow[{}]{}P=\dfrac{1}{4}+\dfrac{11}{4}=3.
Chọn C.
Bài tập 13.
Cho cấp số nhân \left( {{u}_{n}} \right) có {{S}_{2}}=4 và {{S}_{3}}=13. Tìm {{S}_{5}}.A. {{S}_{5}}=121hoặc {{S}_{5}}=\dfrac{181}{16}.
B.{{S}_{5}}=121 hoặc {{S}_{5}}=\dfrac{35}{16}.
C.{{S}_{5}}=114hoặc {{S}_{5}}=\dfrac{185}{16}.
D. {{S}_{5}}=141hoặc {{S}_{5}}=\dfrac{183}{16}.
Lời giải
Chọn A
Ta có {{u}_{3}}={{S}_{3}}-{{S}_{2}}=9 \Rightarrow {{u}_{1}}{{q}^{2}}=9 \Rightarrow {{u}_{1}}=\dfrac{9}{{{q}^{2}}}.
Vì {{S}_{2}}=4 nên {{u}_{1}}+{{u}_{1}}q=4.
Do đó \dfrac{9}{{{q}^{2}}}+\dfrac{9}{q}=4 \Leftrightarrow 4{{q}^{2}}-9q-9=0 \Leftrightarrow q=3 hoặc q=-\dfrac{3}{4}.
+ Với q=3 thì {{u}_{1}}=1, {{u}_{6}}={{u}_{1}}{{q}^{5}}=243.
Suy ra {{S}_{5}}=\dfrac{{{u}_{1}}-{{u}_{6}}}{1-q}=\dfrac{1-243}{1-3}=121.
+ Với q=-\dfrac{3}{4} thì {{u}_{1}}=16, {{u}_{6}}=-\dfrac{243}{64}.
Suy ra {{S}_{5}}=\dfrac{{{u}_{1}}-{{u}_{6}}}{1-q}=\dfrac{181}{16}.
Vậy phương án đúng là A.
Bài tập 14.
Cho cấp số nhân \left( {{u}_{n}} \right) có {{u}_{1}}=8 và biểu thức 4{{u}_{3}}+2{{u}_{2}}-15{{u}_{1}} đạt giá trị nhỏ nhất. Tính {{S}_{10}}.A.{{S}_{10}}=\dfrac{2\left( {{4}^{11}}+1 \right)}{{{5.4}^{9}}}.
B. {{S}_{10}}=\dfrac{2\left( {{4}^{10}}+1 \right)}{{{5.4}^{8}}}.
C. {{S}_{10}}=\dfrac{{{2}^{10}}-1}{{{3.2}^{6}}}.
D. {{S}_{10}}=\dfrac{{{2}^{11}}-1}{{{3.2}^{7}}}
Lời giải
Đáp án B.
Gọi q là công bội của cấp số nhân. Khi đó 4{{u}_{3}}+2{{u}_{2}}-15{{u}_{1}}=2{{\left( 4q+1 \right)}^{2}}-122\ge -122,\forall q.
Dấu bằng xảy ra khi 4q+1=0 \Leftrightarrow q=-\dfrac{1}{4}.
Suy ra: {{S}_{10}}={{u}_{1}}.\dfrac{1-{{q}^{10}}}{1-q}=8.\dfrac{1-{{\left( -\dfrac{1}{4} \right)}^{10}}}{1-\left( -\dfrac{1}{4} \right)} =\dfrac{2\left( {{4}^{10}}-1 \right)}{{{5.4}^{8}}}.
Vậy phương án đúng là B.
Bài tập 15.
Cho cấp số nhân \left( {{u}_{n}} \right) có {{u}_{1}}=2, công bội dương và biểu thức {{u}_{4}}+\dfrac{1024}{{{u}_{7}}} đạt giá trị nhỏ nhất. Tính S={{u}_{11}}+{{u}_{12}}+...+{{u}_{20}}.A. S=2046.
B. S=2097150.
C.S=2095104.
D. S=1047552.
Lời giải
Chọn C
Gọi q là công bội của cấp số nhân, q>0.
Ta có {{u}_{4}}+\dfrac{1024}{{{u}_{7}}}=2{{q}^{3}}+\dfrac{512}{{{q}^{6}}}.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:2{{q}^{3}}+\dfrac{512}{{{q}^{6}}}={{q}^{3}}+{{q}^{3}}+\dfrac{512}{{{q}^{6}}}\ge 3\sqrt[3]{{{q}^{3}}.{{q}^{3}}.\dfrac{512}{{{q}^{6}}}}=24.
Suy ra {{u}_{4}}+\dfrac{1024}{{{u}_{7}}} đạt giá trị nhỏ nhất bằng 24 khi {{q}^{3}}=\dfrac{512}{{{q}^{6}}} \Leftrightarrow q=2.
Ta có {{S}_{10}}=\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{10}} \right)}{1-q}={{2}^{11}}-2; {{S}_{10}}=\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{20}} \right)}{1-q}={{2}^{21}}-2.
Do đó S={{S}_{20}}-{{S}_{10}}=2095104. Vậy phương án đúng là C.
Bài tập 16.
Cho cấp số nhân \left( {{u}_{n}} \right) có \left\{ \begin{align} & {{u}_{4}}+{{u}_{6}}=-540 \\ & {{u}_{3}}+{{u}_{5}}=180 \\ \end{align} \right.. Tính {{S}_{21}}.A. {{S}_{21}}=\dfrac{1}{2}\left( {{3}^{21}}+1 \right)
B.{{S}_{21}}={{3}^{21}}-1.
C.{{S}_{21}}=1-{{3}^{21}}.
D. {{S}_{21}}=-\dfrac{1}{2}\left( {{3}^{21}}+1 \right).
Lời giải
Đáp án A.
Ta có {{u}_{4}}+{{u}_{6}}=-540 \Leftrightarrow \left( {{u}_{3}}+{{u}_{5}} \right)q=-540.
Kết hợp với phương trình thứ hai trong hệ, ta tìm được q=-3. Lại có {{u}_{3}}+{{u}_{5}}=180 \Leftrightarrow {{u}_{1}}\left( {{q}^{2}}+{{q}^{4}} \right)=180.
Vì q=-3 nên {{u}_{1}}=2. Suy ra {{S}_{21}}=\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{21}} \right)}{1-q}=\dfrac{1}{2}\left( {{3}^{21}}+1 \right).
Vậy phương án đúng là A.
Bài tập 17.
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 1;\text{ }\,4;\text{ }\,16;\text{ }\,64;\text{ }\cdots Gọi {{S}_{n}} là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. Mệnh đề nào sau đây đúng?A. {{S}_{n}}={{4}^{n-1}}.
B. {{S}_{n}}=\dfrac{n\left( 1+{{4}^{n-1}} \right)}{2}.
C. {{S}_{n}}=\dfrac{{{4}^{n}}-1}{3}.
D. {{S}_{n}}=\dfrac{4\left( {{4}^{n}}-1 \right)}{3}.
Lời giải
Cấp số nhân đã cho có
\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=1 \\ & q=4 \\ \end{align} \right. \xrightarrow[{}]{}{{S}_{n}}={{u}_{1}}.\dfrac{1-{{q}^{n}}}{1-q}=1.\dfrac{1-{{4}^{n}}}{1-4}=\dfrac{{{4}^{n}}-1}{3}.
Chọn C.
Bài tập 18.
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là \dfrac{1}{4};\text{ }\dfrac{1}{2};\text{ }1;\text{ }\cdots ;\text{ }2048. Tính tổng S của tất cả các số hạng của cấp số nhân đã cho.A. S=2047,75.
B. S=2049,75.
C. S=4095,75.
D. S=4096,75.
Lời giải
Cấp số nhân đã cho có
\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=\dfrac{1}{4} \\ & q=2 \\ \end{align} \right. \xrightarrow[{}]{}2048={{2}^{11}}={{u}_{1}}{{q}^{n-1}}=\dfrac{1}{2}{{.2}^{n-1}}={{2}^{n-2}} \Leftrightarrow n=13.
Vậy cấp số nhân đã cho có tất cả 13 số hạng.
Vậy {{S}_{13}}={{u}_{1}}.\dfrac{1-{{q}^{13}}}{1-q}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{1-{{2}^{13}}}{1-2}=2047,75 \xrightarrow[{}]{} Chọn A.
Xem thêm: + Lý thuyết: Định nghĩa, các công thức liên quan cấp số nhân (Phần 0).
+ Bài tập cấp số nhân có lời giải: Phần -2 / Phần -1 / Phần 1 / Phần 2 / Phần 3 - Phần 4 - Phần 5.
