Bài tập 1. Xác định số thực $x$ để 3 số $2x-1;\text{ }x;\text{ }2x+1$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân: A. $x=\pm \dfrac{1}{3}.$ B...
Bài tập 1.
Xác định số thực $x$ để 3 số $2x-1;\text{ }x;\text{ }2x+1$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân:A. $x=\pm \dfrac{1}{3}.$
B. $x=\pm \sqrt{3}.$
C. $x=\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}.$
D. Không có giá trị nào của $x$.
Lời giải
Chọn C.
Ba số: $2x-1;\text{ }x;\text{ }2x+1$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân $\Leftrightarrow \left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)={{x}^{2}}$ $\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-1={{x}^{2}}$ $\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}=1$ $\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}.$
Bài tập 2.
Trong các dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ sau, dãy nào là cấp số nhân?A. ${{u}_{n}}={{n}^{2}}+n+1$ .
B. ${{u}_{n}}=\left( n+2 \right){{.3}^{n}}$ .
C. $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=2 \\ & {{u}_{n+1}}=\dfrac{6}{{{u}_{n}}},\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\ \end{align} \right..$
D.${{u}_{n}}={{\left( -4 \right)}^{2n+1}}$ .
Lời giải
Chọn D.
C. Từ công thức truy hồi của dãy số, suy ra ${{u}_{1}}=2;{{u}_{2}}=3;{{u}_{3}}=2;{{u}_{4}}=3;...$ Vì $\dfrac{{{u}_{3}}}{{{u}_{2}}}\ne \dfrac{{{u}_{2}}}{{{u}_{1}}}$nên $\left( {{u}_{n}} \right)$không phải là cấp số nhân. Tương tự cho các dãy ở câu A và B.
D. $\dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\dfrac{{{\left( -4 \right)}^{2\left( n+1 \right)+1}}}{{{\left( -4 \right)}^{2n+1}}}=16,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ . Vậy $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp số nhân với công bội $q=16.$
Bài tập 3.
Dãy số nào sau đây là một cấp số nhân?A. $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=1 \\ & {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+1,\text{ }n\ge 1 \\ \end{align} \right..$
B. $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=-1 \\ & {{u}_{n+1}}=-3{{u}_{n}},\text{ }n\ge 1 \\ \end{align} \right..$
C. $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=-2 \\ & {{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}+3,\text{ }n\ge 1 \\ \end{align} \right..$
D. $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=\dfrac{\pi }{2} \\ & {{u}_{n}}=\sin \left( \dfrac{\pi }{n-1} \right),\text{ }n\ge 1 \\ \end{align} \right..$
Lời giải
$\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số nhân $\Leftrightarrow {{u}_{n+1}}=q{{u}_{n}}, \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ $\xrightarrow[{}]{}$ Chọn B.
Bài tập 4.
Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}=\dfrac{3}{2}{{.5}^{n}}.$ Khẳng định nào sau đây đúng?A. $\left( {{u}_{n}} \right)$ không phải là cấp số nhân.
B. $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số nhân có công bội $q=5$ và số hạng đầu ${{u}_{1}}=\dfrac{3}{2}.$
C. $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số nhân có công bội $q=5$ và số hạng đầu ${{u}_{1}}=\dfrac{15}{2}.$
D. $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số nhân có công bội $q=\dfrac{5}{2}$ và số hạng đầu
Lời giải
${{u}_{n}}=\dfrac{3}{2}{{.5}^{n}}$ là cấp số nhân công bội $q=5$ và ${{u}_{1}}=\dfrac{15}{2}\xrightarrow[{}]{}$ Chọn C.
Bài tập 5.
Trong các dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ cho bởi số hạng tổng quát ${{u}_{n}}$ sau, dãy số nào là một cấp số nhân?A. ${{u}_{n}}=\dfrac{1}{{{3}^{n-2}}}\,\,.$
B. ${{u}_{n}}=\dfrac{1}{{{3}^{n}}}-1\,.$
C. ${{u}_{n}}=n+\dfrac{1}{3}\,\,.$
D. ${{u}_{n}}={{n}^{2}}-\dfrac{1}{3}.$
Lời giải
Dãy ${{u}_{n}}=\dfrac{1}{{{3}^{n-2}}}=9.{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{n}}$ là cấp số nhân có $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=3 \\ & q=\dfrac{1}{3} \\ \end{align} \right.\xrightarrow[{}]{}$ Chọn A.
Bài tập 6.
Trong các dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ cho bởi số hạng tổng quát ${{u}_{n}}$ sau, dãy số nào là một cấp số nhân?A. ${{u}_{n}}=7-3n.$
B. ${{u}_{n}}=7-{{3}^{n}}.$
C. ${{u}_{n}}=\dfrac{7}{3n}.$
D. ${{u}_{n}}={{7.3}^{n}}.$
Lời giải
Dãy ${{u}_{n}}={{7.3}^{n}}$ là cấp số nhân có $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=21 \\ & q=3 \\ \end{align} \right.\xrightarrow[{}]{}$Chọn D.
Bài tập 7.
Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp số nhân với ${{u}_{n}}\ne 0,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$ Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?A. ${{u}_{1}}\text{; }{{u}_{3}}\text{; }{{u}_{5}}\text{; }...$
B. $3{{u}_{1}}\text{; }3{{u}_{2}};\text{ }3{{u}_{3}}\text{; }...$
C. $\dfrac{1}{{{u}_{1}}};\text{ }\dfrac{1}{{{u}_{2}}};\text{ }\dfrac{1}{{{u}_{3}}};\text{ }...$
D. ${{u}_{1}}+2;\text{ }{{u}_{2}}+2;\text{ }{{u}_{3}}+2;\text{ }...$
Lời giải
Giả sử $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số nhân công bội $q$ thì
Dãy ${{u}_{1}}\text{; }{{u}_{3}}\text{; }{{u}_{5}}\text{; }...$là cấp số nhân công bội ${{q}^{2}}.$
Dãy $3{{u}_{1}}\text{; }3{{u}_{2}};\text{ }3{{u}_{3}}\text{; }...$là cấp số nhân công bội $q.$
Dãy $\dfrac{1}{{{u}_{1}}};\text{ }\dfrac{1}{{{u}_{2}}};\text{ }\dfrac{1}{{{u}_{3}}};\text{ }...$là cấp số nhân công bội $\dfrac{1}{q}.$
Dãy ${{u}_{1}}+2;\text{ }{{u}_{2}}+2;\text{ }{{u}_{3}}+2;\text{ }...$ không phải là cấp số nhân.
Chọn D.
Bài tập 8.
Cho cấp số nhân có ${{u}_{1}}=-3$, $q=\dfrac{2}{3}$. Tính ${{u}_{5}}.$A. ${{u}_{5}}=\dfrac{-27}{16}.$
B. ${{u}_{5}}=\dfrac{-16}{27}.$
C. ${{u}_{5}}=\dfrac{16}{27}.$
D. ${{u}_{5}}=\dfrac{27}{16}.$
Lời giải
Chọn B.
Ta có: ${{u}_{5}}={{u}_{1}}.{{q}^{4}}=\left( -3 \right){{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{4}}=-\dfrac{16}{27}.$
Bài tập 9.
Cho cấp số nhân có ${{u}_{1}}=-3$, $q=\dfrac{2}{3}$. Số $\dfrac{-96}{243}$ là số hạng thứ mấy của cấp số nhân này?A. Thứ 5.
B. Thứ 6.
C. Thứ 7.
D. Không phải là số hạng của cấp số nhân.
Lời giải
Chọn B.
Giả sử số $\dfrac{-96}{243}$ là số hạng thứ $n$ của cấp số này.
Ta có: ${{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}=\dfrac{-96}{243}$ $\Leftrightarrow \left( -3 \right){{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{n-1}}=\dfrac{-96}{243}$ $\Leftrightarrow n=6$.
Vậy số $\dfrac{-96}{243}$ là số hạng thứ $6$ của cấp số.
Bài tập 10.
Cho cấp số nhân có ${{u}_{2}}=\dfrac{1}{4}$ ; ${{u}_{5}}=16$. Tìm $q$ và ${{u}_{1}}$.A. $q=\dfrac{1}{2};\text{ }{{u}_{\text{1}}}=\dfrac{1}{2}.$
B. $q=-\dfrac{1}{2};\text{ }{{u}_{\text{1}}}=-\dfrac{1}{2}.$
C. $q=4;\text{ }{{u}_{\text{1}}}=\dfrac{1}{16}.$
D. $q=-4;\text{ }{{u}_{\text{1}}}=-\dfrac{1}{16}.$
Lời giải
Chọn C.
Ta có: ${{u}_{2}}={{u}_{1}}.q\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\dfrac{1}{4}={{u}_{1}}.q$ ; ${{u}_{5}}={{u}_{1}}.{{q}^{4}}$ $\Leftrightarrow \text{ }16={{u}_{1}}.{{q}^{4}}.$
Suy ra: ${{q}^{3}}=64\text{ }\Leftrightarrow \text{ }q=4$. Từ đó: ${{u}_{1}}=\dfrac{1}{16}.$
Xem thêm: + Lý thuyết: Định nghĩa, các công thức liên quan cấp số nhân (Phần 0).
+ Bài tập cấp số nhân có lời giải: Phần -2 / Phần -1 / Phần 1 / Phần 2 / Phần 3 - Phần 4 - Phần 5.
