Bài tập 1. Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng? A. $\left( {{u}_{n}} \right):\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=1 \\ {{u}_{n+1}}=...
Bài tập 1.
Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?A. $\left( {{u}_{n}} \right):\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=1 \\ {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+2,\,\,\forall n\ge 1 \\ \end{matrix} \right.$.
B. $\left( {{u}_{n}} \right):\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=3 \\ {{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}+1,\,\,\forall n\ge 1 \\ \end{matrix} \right.$.
C. $\left( {{u}_{n}} \right):\,$ $1$; $3$; $6$; $10$; $15$; $\ldots $.
D. $\left( {{u}_{n}} \right):\,$ $-1$; $1$; $-1$; $1$; $-1$; $\ldots $.
Lời giải
Chọn A
Dãy số ở đáp án A thỏa ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=2$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$ nên là cấp số cộng.
Bài tập 2.
Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng có ${{u}_{1}}=3$ và công sai $d=4$. Biết tổng $n$ số hạng đầu của dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là ${{S}_{n}}=253$. Tìm $n$.A. $9$.
B. $11$.
C. $12$.
D. $10$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có ${{S}_{n}}=\dfrac{n\left( 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right)}{2}$ $\Leftrightarrow \dfrac{n\left( 2.3+\left( n-1 \right).4 \right)}{2}=253$ $\Leftrightarrow 4{{n}^{2}}+2n-506=0\Leftrightarrow n=11 \vee n=-\dfrac{23}{2}.$
Vậy $n=11$.
Bài tập 3.
Cho một cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$có ${{u}_{1}}=\dfrac{1}{3}$, ${{u}_{8}}=26$. Tìm công sai $d$.A. $d=\dfrac{11}{3}$.
B. $d=\dfrac{10}{3}$.
C. $d=\dfrac{3}{10}$.
D. $d=\dfrac{3}{11}$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có ${{u}_{8}}={{u}_{1}}+7d\Leftrightarrow 26=\dfrac{1}{3}+7d\Leftrightarrow d=\dfrac{11}{3}$.
Bài tập 4.
Trong các dãy số sau, có bao nhiêu dãy số là cấp số cộng?a) Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}=4n$.
b) Dãy số $\left( {{v}_{n}} \right)$ với ${{v}_{n}}=2{{n}^{2}}+1$.
c) Dãy số $\left( {{w}_{n}} \right)$ với ${{w}_{n}}=\dfrac{n}{3}-7$.
d) Dãy số $\left( {{t}_{n}} \right)$ với ${{t}_{n}}=\sqrt[{}]{5}-5n$.
A. $4$.
B. $2$.
C. $1$.
D. $3$.
Lời giải
Chọn D
Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}=4n$ có ${{u}_{n+1}}=4\left( n+1 \right)=4n+4$ $\Rightarrow {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+4$, $\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ $\Rightarrow $dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số cộng với công sai $d=4$.
Dãy số $\left( {{v}_{n}} \right)$ với ${{v}_{n}}=2{{n}^{2}}+1$ có ${{v}_{1}}=3$, ${{v}_{2}}=9$, ${{v}_{3}}=19$ nên dãy số $\left( {{v}_{n}} \right)$ không là cấp số cộng.
Dãy số $\left( {{w}_{n}} \right)$ với ${{w}_{n}}=\dfrac{n}{3}-7$ có ${{w}_{n+1}}=\dfrac{n+1}{3}-7$ $=\dfrac{n}{3}-7+\dfrac{1}{3}$ $\Rightarrow {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+\dfrac{1}{3}$, $\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ $\Rightarrow $dãy số $\left( {{w}_{n}} \right)$ là cấp số cộng với công sai $d=\dfrac{1}{3}$.
Dãy số $\left( {{t}_{n}} \right)$ với ${{t}_{n}}=\sqrt[{}]{5}-5n$ có ${{t}_{n+1}}=\sqrt[{}]{5}-5n-5$ $\Rightarrow {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}-5$, $\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ $\Rightarrow $dãy số $\left( {{w}_{n}} \right)$ là cấp số cộng với công sai $d=-5$.
Vậy có $3$ dãy số là cấp số cộng.
Bài tập 5.
Cho dãy số $\left( {{x}_{n}} \right)$ thỏa mãn ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+...+{{x}_{n}}=\dfrac{3n\left( n+3 \right)}{2}$ với mọi $n\in \mathbb{N}^*$. Khẳng định nào dưới đây là đúng.A. $\left( {{x}_{n}} \right)$ là cấp số cộng với công sai âm.
B. $\left( {{x}_{n}} \right)$ là cấp số nhân với công bội âm.
C. $\left( {{x}_{n}} \right)$ là cấp số cộng với công sai dương.
D. $\left( {{x}_{n}} \right)$ là cấp số nhân với công bội dương.
Lời giải
Chọn C
Ta có: ${{x}_{n}}=\dfrac{3n\left( n+3 \right)}{2}-\dfrac{3\left( n-1 \right)\left( n-1+3 \right)}{2}=3n+3.$
Ta lại có: ${{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}=3\left( n+1 \right)+3-3n-3=3$.
Vậy $\left( {{x}_{n}} \right)$ là cấp số cộng với công sai dương.
Bài tập 6.
Tam giác $ABC$ có ba cạnh $a$, $b$, $c$ thỏa mãn ${{a}^{2}}$, ${{b}^{2}}$, ${{c}^{2}}$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sauA. ${{\tan }^{2}}A$, ${{\tan }^{2}}B$, ${{\tan }^{2}}C$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
B. ${{\cot }^{2}}A$, ${{\cot }^{2}}B$, ${{\cot }^{2}}C$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
C. $\cos A$, $\cos B$, $\cos C$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
D. ${{\sin }^{2}}A$, ${{\sin }^{2}}B$, ${{\sin }^{2}}C$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
Lời giải
Chọn D
Áp dụng định lý sin trong tam giác $ABC$ ta có $a=2R\sin A$, $b=2R\sin B$, $c=2R\sin C.$
Theo giả thiết ${{a}^{2}}$, ${{b}^{2}}$, ${{c}^{2}}$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên ${{a}^{2}}+{{c}^{2}}=2{{b}^{2}}$ $\Leftrightarrow 4{{R}^{2}}.{{\sin }^{2}}A+4{{R}^{2}}.{{\sin }^{2}}C=2.4{{R}^{2}}.{{\sin }^{2}}B$ $\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}A+{{\sin }^{2}}C=2.{{\sin }^{2}}B$.
Vậy ${{\sin }^{2}}A$, ${{\sin }^{2}}B$, ${{\sin }^{2}}C$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
Bài tập 7.
Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là $80.000$ đồng, kể từ mét khoan thứ hai giá của mỗi mét khoan tăng thêm $5.000$ đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống $50\text{m}$ mới có nước. Hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó?A. $4.000.000$ đồng.
B. $10.125.000$ đồng.
C. $52.500.000$ đồng.
D. $52.500.000$ đồng.
Lời giải
Chọn B
* Áp dụng công thức tính tổng của $n$ số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu ${{u}_{1}}=80.000$, công sai $d=5.000$ ta được số tiền phải trả khi khoan đến mét thứ $n$ là
${{S}_{n}}=\dfrac{n\left( {{u}_{1}}+{{u}_{n}} \right)}{2}=\dfrac{n\left[ 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right]}{2}.$
* Khi khoan đến mét thứ $50$, số tiền phải trả là
${{S}_{50}}=\dfrac{50\left[ 2.80000+\left( 50-1 \right).5000 \right]}{2}=10.125.000$ đồng.
Xem thêm: + Lí thuyết: định nghĩa, công thức cấp số cộng.
+ Bài tập Cấp số cộng có lời giải: Phần 1 - Phần 2 - Phần 3 - Phần 4 - Phần 5 - Phần 6 - Phần 7.
