Giải bài 5.30 trang 110 SGK Toán 9 Kết nối tri thức (Luyện tập chung)

Giải bài 5.30 trang 110 SGK Toán 9 Kết nối tri thức (KNTT) với cuộc sống, thuộc phần Luyện tập chung - chương V: Đường tròn. Hình vẽ bài tậ...

Giải bài 5.30 trang 110 SGK Toán 9 Kết nối tri thức (KNTT) với cuộc sống, thuộc phần Luyện tập chung - chương V: Đường tròn.
Hình vẽ bài tập 5.30 SGK Toán 9 KNTT:

Giải bài tập 5.30a)

Ta có $MN = MP + NP.$ Mặt khác, $MA$ và $MP$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn $(O)$ nên $MA = MP.$
Tương tự ta cũng có $NB = NP.$
Cộng từng vế hai đẳng thức trên ta được $MA + NB = MP + NP = MN.$
Đó là điều cần chứng minh.

Giải bài tập 5.30b)

Do $OQ ⊥ AB$ (giả thiết), $MA ⊥ AB$ và $NB ⊥ AB$ (tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ và $B$) nên $OQ // AM // BN.$
Nối $A$ với $N$ cắt $OQ$ tại $C.$
Trong tam giác $ABN$, đường thẳng $OQ$ đi qua trung điểm $O$ của cạnh $AB$ và song song với $BN$ nên $C$ là trung điểm của $AN.$
Trong tam giác $AMN$, đường thẳng $OQ$ đi qua trung điểm $C$ của $AN$ và song song với $AM$ nên $Q$ là trung điểm của $MN$ (đpcm).
Chú ý. Nếu sử dụng kiến thức về đường trung bình của hình thang thì lời giải sẽ đơn giản hơn. Nhưng vì chương trình không đề cập đến kiến thức này nên trong lời giải trên, ta phải dùng kiến thức về đường trung bình trong tam giác.

Giải bài tập 5.30c)

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, $OM$ là phân giác của góc $\widehat{AOP}$; và $ON$ là phân giác của góc $\widehat{BOP}.$
Do đó:
$\widehat{MON}$ = $\widehat{MOP}$ + $\widehat{NOP}$ = $\frac{1}{2}~\widehat{AOP}+\frac{1}{2}~\widehat{BOP}~$= $\frac{1}{2}~\left( \widehat{AOP}+~\widehat{BOP} \right)$ = $\frac{1}{2}~\cdot 180{}^\circ =90{}^\circ .$
Do đó tam giác $MON$ là tam giác vuông tại $O$ với $OQ$ là trung tuyến. Từ đó ta có $OQ = OM = ON.$
Vậy đường tròn đường kính $MN$, cũng là đường tròn $(Q; QO)$, đi qua $O$.
Do đó $AB$ vuông góc với bán kính $QO$ tại $O$.
Điều đó chứng tỏ $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(Q; QO)$. Nói cách khác, $AB$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $MN$ (đpcm).