Lời giải bài toán số 4 ở IMO 1987 (tổ chức tại Cuba). Đây là bài toán do TS Nguyễn Minh Đức của Việt Nam đề xuất và được đưa vào đề thi chín...
Lời giải bài toán số 4 ở IMO 1987 (tổ chức tại Cuba). Đây là bài toán do TS Nguyễn Minh Đức của Việt Nam đề xuất và được đưa vào đề thi chính thức.
Kí hiệu $\mathbb{N}$ là tập hợp các số nguyên không âm. Giả sử tồn tại hàm $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ sao cho $f(f(n))=n+1987$ với mọi $n$.
Đặt $A = \mathbb{N} - f(\mathbb{N})$ và đặt $B = f(A)$.
Lưu ý rằng $f$ là đơn ánh vì: nếu $f(n) = f(m)$ thì $f(f(n)) = f(f(m))$ nên $n+1987 = m+1987 \Rightarrow n=m$.
Ta sẽ chứng minh $B = f(\mathbb{N}) - f(f(\mathbb{N}))$.
Rõ ràng $B$ là tập con của $f(\mathbb{N})$ và nếu $k$ thuộc $B$, thì nó không thể thuộc $f(f(\mathbb{N}))$ vì $ f$ là đơn ánh. Tương tự, một phần tử của $f(f(\mathbb{N}))$ không thể thuộc $B$.
Rõ ràng $A$ và $B$ là rời nhau và ta có:
$A \cup B = \mathbb{N} - f(f(\mathbb{N}))$ $=\{0, 1, 2, \ldots , 1986\}$.
Nhưng vì $f$ là đơn ánh nên $A$ và $B$ có cùng số phần tử. Điều này là không thể vì tập hợp $\{0, 1, \ldots , 1986\}$ có số phần tử là $1987$ (một số lẻ).
Xem thêm: 3 bài toán ở IMO có tác giả là người Việt Nam.
Đề bài toán 4 IMO 1987
Chứng minh rằng không tồn tại hàm $f$ từ tập các số nguyên không âm vào chính nó sao cho $f(f(n))=n+1987$ với mọi $n$.
Lời giải bài 4 IMO 1987
Lời giải dưới đây là của tác giả Sawa Pavlov.Kí hiệu $\mathbb{N}$ là tập hợp các số nguyên không âm. Giả sử tồn tại hàm $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ sao cho $f(f(n))=n+1987$ với mọi $n$.
Đặt $A = \mathbb{N} - f(\mathbb{N})$ và đặt $B = f(A)$.
Lưu ý rằng $f$ là đơn ánh vì: nếu $f(n) = f(m)$ thì $f(f(n)) = f(f(m))$ nên $n+1987 = m+1987 \Rightarrow n=m$.
Ta sẽ chứng minh $B = f(\mathbb{N}) - f(f(\mathbb{N}))$.
Rõ ràng $B$ là tập con của $f(\mathbb{N})$ và nếu $k$ thuộc $B$, thì nó không thể thuộc $f(f(\mathbb{N}))$ vì $ f$ là đơn ánh. Tương tự, một phần tử của $f(f(\mathbb{N}))$ không thể thuộc $B$.
Rõ ràng $A$ và $B$ là rời nhau và ta có:
$A \cup B = \mathbb{N} - f(f(\mathbb{N}))$ $=\{0, 1, 2, \ldots , 1986\}$.
Nhưng vì $f$ là đơn ánh nên $A$ và $B$ có cùng số phần tử. Điều này là không thể vì tập hợp $\{0, 1, \ldots , 1986\}$ có số phần tử là $1987$ (một số lẻ).
Xem thêm: 3 bài toán ở IMO có tác giả là người Việt Nam.
