Ở kì thi Olympic Toán học quốc tế IMO 1977 tổ chức tại Nam Tư, có 1 bài toán do người Việt Nam ra đề. Đó là bài toán của PGS Phan Đức Chính ...
Ở kì thi Olympic Toán học quốc tế IMO 1977 tổ chức tại Nam Tư, có 1 bài toán do người Việt Nam ra đề. Đó là bài toán của PGS Phan Đức Chính (Bài 2 đề thi chính thức IMO 1977).
Gọi $x_1,x_2,\ldots$ là dãy đã cho và với mỗi $n$ ta kí hiệu $s_n=x_1+x_2+\ldots+x_n$. Các điều kiện từ giả thiết bây giờ có thể được viết dưới dạng $s_{n+7}< s_n$ và $s_{n+11}>s_n$ với mọi $n\ge 1$.
Ta có:
$0< s_{11}< s_4< s_{15}< s_8< s_1$ $< s_{12}< s_5< s_{16}< s_9< s_2< s_{13}$ $< s_6< s_{17}< s_{10} < s_3< s_{14}< s_7< 0$, một sự mâu thuẫn.
Do đó, dãy đã cho không thể có từ $17$ số hạng trở lên.
Để chứng minh $16$ là đáp án của bài toán, chỉ cần lấy $16$ số thực thỏa mãn:
$s_{10}< s_3< s_{14}< s_7<0< s_{11}$ $< s_4< s_{15}< s_8< s_1< s_{12}$ $< s_5< s_{16}< s_9< s_2< s_{13}< s_6.$
Ta có $x_1=s_1$ và $x_n=s_n-s_{n-1}$ với $n\ge 2$. Nhờ vậy, ta tìm được tất cả các số hạng của dãy thoả mãn.
Bonus: Một dãy số mà Hội đồng giám khảo đưa ra là (gồm $16$ số hạng)
$5,5,-13,5,5,5,-13,5,$ $5,-13,5,5,5,-13,5,5.$
Xem thêm: Cách giải thứ hai / 3 bài toán ở IMO có tác giả là người Việt Nam.
Đề bài toán
Trong một dãy hữu hạn các số thực, tổng của $7$ số hạng liên tiếp bất kì là âm và tổng của $11$ số hạng liên tiếp bất kì là dương. Xác định số lượng số hạng tối đa của dãy số.Lời giải
Lời giải dưới đây là của thí sinh người CH Séc Martin Cadek. Lời giải này đã được Ban tổ chức IMO 1977 trao giải đặc biệt nhờ sự độc đáo và hay hơn đáp án của Hội đồng giám khảo, dù Cadek chỉ giành được huy chương đồng ở kì thi này.Gọi $x_1,x_2,\ldots$ là dãy đã cho và với mỗi $n$ ta kí hiệu $s_n=x_1+x_2+\ldots+x_n$. Các điều kiện từ giả thiết bây giờ có thể được viết dưới dạng $s_{n+7}< s_n$ và $s_{n+11}>s_n$ với mọi $n\ge 1$.
Ta có:
$0< s_{11}< s_4< s_{15}< s_8< s_1$ $< s_{12}< s_5< s_{16}< s_9< s_2< s_{13}$ $< s_6< s_{17}< s_{10} < s_3< s_{14}< s_7< 0$, một sự mâu thuẫn.
Do đó, dãy đã cho không thể có từ $17$ số hạng trở lên.
Để chứng minh $16$ là đáp án của bài toán, chỉ cần lấy $16$ số thực thỏa mãn:
$s_{10}< s_3< s_{14}< s_7<0< s_{11}$ $< s_4< s_{15}< s_8< s_1< s_{12}$ $< s_5< s_{16}< s_9< s_2< s_{13}< s_6.$
Ta có $x_1=s_1$ và $x_n=s_n-s_{n-1}$ với $n\ge 2$. Nhờ vậy, ta tìm được tất cả các số hạng của dãy thoả mãn.
Bonus: Một dãy số mà Hội đồng giám khảo đưa ra là (gồm $16$ số hạng)
$5,5,-13,5,5,5,-13,5,$ $5,-13,5,5,5,-13,5,5.$
Xem thêm: Cách giải thứ hai / 3 bài toán ở IMO có tác giả là người Việt Nam.
