Đề thi IMO: 3 bài toán có tác giả là người Việt Nam

Trong 50 năm (1974-2024) tham dự kì thi Olympic Toán học quốc tế (IMO), Việt Nam có 3 bài toán được lựa chọn đưa vào đề thi chính thức ở IMO...

Trong 50 năm (1974-2024) tham dự kì thi Olympic Toán học quốc tế (IMO), Việt Nam có 3 bài toán được lựa chọn đưa vào đề thi chính thức ở IMO 1977, 1982 và 1987.

Bài số 2 IMO 1977

Tại kỳ thi IMO lần thứ 19 năm 1977 tổ chức tại Nam Tư, bài thi số 2 là của cố PGS Phan Đức Chính. PGS Phan Đức Chính là một trong những người thầy đầu tiên của lớp Chuyên Toán đầu tiên của Việt Nam (Lớp Chuyên Toán A0 Khóa 1, Trường ĐH Tổng hợp trước đây và là Trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐH Quốc gia Hà Nội sau này), đã tham gia đào tạo nhiều học sinh giỏi được huy chương Toán quốc tế và cũng là người đã viết, dịch nhiều giáo trình Toán học kinh điển ở Việt Nam. PGS. Phan Đức Chính từng làm Phó đoàn học sinh Việt Nam tham dự IMO trong các năm 1974-1976.

Đề bài toán của PGS Phan Đức Chính

Trong một dãy hữu hạn các số thực, tổng của $7$ số hạng liên tiếp bất kì là âm và tổng của $11$ số hạng liên tiếp bất kì là dương. Xác định số lượng số hạng tối đa trong dãy số.

Lời giải bài 2 IMO 1977

Bạn đọc xem lời giải ở link sau đây: BẤM XEM LỜI GIẢI 1 - Cách giải thứ 2.

Bài số 6 IMO 1982

Ở IMO 1982 tại Hungary (lần thứ 23), một bài toán của cố PGS Văn Như Cương cũng được đưa vào đề thi IMO. Bài toán gốc mà cố PGS Văn Như Cương đề xuất được trình bày như sau:

Ngày xưa (ở xứ Nghệ) có một ngôi làng hình vuông mỗi cạnh $100$ km. Có một con sông chạy quanh làng. Bất cứ điểm nào trong làng cũng cách con sông không quá $0,5$ km. Chứng minh rằng có $2$ điểm trên sông có khoảng cách đường chim bay không quá $1$ km, nhưng khoảng cách dọc theo dòng sông không ít hơn $198$ km.

Bài toán này của Việt Nam rất khó vì thế nhiều nước muốn loại ra khỏi đề thi. Tuy nhiên Chủ tịch IMO năm đó là Giáo sư R.Afred, Viện trưởng Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Hungary lại khen hay và quyết định giữ lại. Sau đó bài toán này được chỉnh sửa để làm câu 6 của đề thi IMO 1982.

Đề bài toán của PGS Văn Như Cương

Cho $S$ là hình vuông với cạnh là $100$, và $L$ là đường gấp khúc không tự cắt tạo thành từ các đoạn thẳng $A_0A_1, A_1A_2,…,A_{n-1}A_n$ với $A_0 \neq A_n$. Giả sử với mỗi điểm $P$ trên biên của $S$ đều có một điểm thuộc $L$ cách $P$ không quá $\dfrac{1}{2}$. Chứng minh rằng tồn tại $2$ điểm $X$ và $Y$ thuộc $L$ sao cho khoảng cách giữa $X$ và $Y$ không vượt quá $1$, và độ dài phần đường gấp khúc $L$ nằm giữa $X$ và $Y$ không nhỏ hơn $198$.

Bài số 4 IMO 1987

Bài toán thứ 3 của Việt Nam được đưa vào đề thi IMO là của TS. Nguyễn Minh Đức tại IMO 1987 tổ chức tại Cuba (lần thứ 28). TS. Nguyễn Minh Đức là cựu học sinh của trường THPT chuyên Khoa học tự nhiên và anh đã giành huy chương Bạc tại IMO 1975 với số điểm 36/40.

Đề bài toán của TS Nguyễn Minh Đức

Chứng minh rằng không tồn tại hàm $f$ từ tập các số nguyên không âm vào chính nó sao cho $f(f(n)) = n+ 1987$ với mọi $n$.

Lời giải bài số 4 IMO 1987

Bạn đọc có thể xem lời giải chi tiết bài toán này ở link sau: BẤM XEM LỜI GIẢI.