Bài viết này sẽ trình bày công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Oxyz và các ví dụ minh hoạ có lời giải chi ti...
Bài viết này sẽ trình bày công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Oxyz và các ví dụ minh hoạ có lời giải chi tiết.
Khi đó, sin của góc giữa đường thẳng \Delta và mặt phẳng (P) được tính theo công thức sau:
\sin(\Delta,(P))=|\cos(\vec{u},\vec{n})| =\dfrac{|\vec{u}.\vec{n}|}{|\vec{u}|.|\vec{n}|} = \dfrac{|aA+bB+cC|}{{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}.
Từ đó ta suy ra số đo góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian (lưu ý rằng 0^\circ \le (\Delta,(P))\le 90^\circ).
Lời giải.
Trục Ox có vectơ chỉ phương \vec{u}=\vec{i}=(1;0;0); mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \vec{n}=(\sqrt{2};-1;1).
Áp dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian ta có:
\sin(Ox,(P))=|\cos(\vec{u},\vec{n})| =\dfrac{|\vec{u}.\vec{n}|}{|\vec{u}|.|\vec{n}|} = \dfrac{|1.\sqrt{2}+0\cdot (-1)+0\cdot 1|}{{\sqrt{1^2+0^2+0^2}.\sqrt{\sqrt{2}^2+(-1)^2+1^2}}} =\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Suy ra (Ox,(P))=45^\circ.
Đáp số: \boxed{45^\circ}.
Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng \Delta:\dfrac{x+1}{-1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z+2}{3} và mặt phẳng (P) có phương trình x+y+z+3=0. (BT 5.22 trang 53 SGK Toán 12).
Lời giải.
Đường thẳng \Delta có một vectơ chỉ phương là \vec{u}=\left( -1;2;3 \right), mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \vec{n}=\left( 1;1;1 \right).
Áp dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có
\sin \left( \Delta ,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( P \right) \right)=\left| \cos \left( \vec{u},\vec{n} \right) \right| =\dfrac{2\sqrt{42}}{21} \Rightarrow \left( \Delta ,\left( P \right) \right)=\sin^{-1}\dfrac{2\sqrt{42}}{21}\approx 38,1{}^\circ .
Đáp số: \boxed{38,1{}^\circ} .
Công thức tính góc
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta có vectơ chỉ phương (vtcp) \vec{u}=(a; b; c) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến (vtpt) \vec{n}=(A;B;C).
\sin(\Delta,(P))=|\cos(\vec{u},\vec{n})| =\dfrac{|\vec{u}.\vec{n}|}{|\vec{u}|.|\vec{n}|} = \dfrac{|aA+bB+cC|}{{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}.
Từ đó ta suy ra số đo góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian (lưu ý rằng 0^\circ \le (\Delta,(P))\le 90^\circ).
Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, tính số đo góc tạo bởi trục Ox và mặt phẳng (P) có phương trình \sqrt{2}x-y+z+5=0.Lời giải.
Trục Ox có vectơ chỉ phương \vec{u}=\vec{i}=(1;0;0); mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \vec{n}=(\sqrt{2};-1;1).
Áp dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian ta có:
\sin(Ox,(P))=|\cos(\vec{u},\vec{n})| =\dfrac{|\vec{u}.\vec{n}|}{|\vec{u}|.|\vec{n}|} = \dfrac{|1.\sqrt{2}+0\cdot (-1)+0\cdot 1|}{{\sqrt{1^2+0^2+0^2}.\sqrt{\sqrt{2}^2+(-1)^2+1^2}}} =\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Suy ra (Ox,(P))=45^\circ.
Đáp số: \boxed{45^\circ}.
Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng \Delta:\dfrac{x+1}{-1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z+2}{3} và mặt phẳng (P) có phương trình x+y+z+3=0. (BT 5.22 trang 53 SGK Toán 12).
Lời giải.
Đường thẳng \Delta có một vectơ chỉ phương là \vec{u}=\left( -1;2;3 \right), mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \vec{n}=\left( 1;1;1 \right).
Áp dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có
\sin \left( \Delta ,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( P \right) \right)=\left| \cos \left( \vec{u},\vec{n} \right) \right| =\dfrac{2\sqrt{42}}{21} \Rightarrow \left( \Delta ,\left( P \right) \right)=\sin^{-1}\dfrac{2\sqrt{42}}{21}\approx 38,1{}^\circ .
Đáp số: \boxed{38,1{}^\circ} .
