Bài viết trước đã trình bày một lời giải hay cho bài toán dãy số của PGS Phan Đức Chính ở Kì thi Olympic Toán Quốc tế 1977. Bài này sẽ trì...
Bài viết trước đã trình bày một lời giải hay cho bài toán dãy số của PGS Phan Đức Chính ở Kì thi Olympic Toán Quốc tế 1977.
Bài này sẽ trình bày một cách giải khác.
Từ 17 số hạng (đầu tiên) ta sắp xếp thành ma trận A (gồm 7 hàng và 11 cột) như sau: \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & x_6 & x_7 & x_8 & x_9 & x_{10} \ \ \ x_{11} \\ x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & x_6 & x_7 & x_8 & x_9 & x_{10} & x_{11} \ \ \ x_{12} \\ x_3 & x_4 & x_5 & x_6 & x_7 & x_8 & x_9 & x_{10} & x_{11} & x_{12} \ \ \ x_{13} \\ x_4 & x_5 & x_6 & x_7 & x_8 & x_9 & x_{10} & x_{11} & x_{12} & x_{13} \ \ \ x_{14} \\ x_5 & x_6 & x_7 & x_8 & x_9 & x_{10} & x_{11} & x_{12} & x_{13} & x_{14} \ \ \ x_{15} \\ x_6 & x_7 & x_8 & x_9 & x_{10} & x_{11} & x_{12} & x_{13} & x_{14} & x_{15} \ \ \ x_{16} \\ x_7 & x_8 & x_9 & x_{10} & x_{11} & x_{12} & x_{13} & x_{14} & x_{15} & x_{16} \ \ \ x_{17} \end{bmatrix}. Từ giả thiết của bài toán, tổng các số ở mỗi hàng (11 số hạng liên tiếp) của A là số dương nên tổng tất cả các số ở A là số dương.
Và tổng các số ở mỗi cột (7 số hạng liên tiếp) của A là số âm, do đó tổng tất cả các số trong A là số âm. Mâu thuẫn.
Điều mâu thuẫn này chứng tỏ dãy đã cho có không quá 16 số hạng.
Mặt khác, dãy 16 số hạng: 5, 5, -13, 5, 5, 5, -13, 5, 5, -13, 5, 5, 5, -13, 5, 5 thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Vậy số lượng số hạng tối đa của dãy là 16.
Lưu ý: Xoay ngang điện thoại để xem đầy đủ ma trận A hoặc xem ảnh ma trận A dưới đây nếu công thức toán phía trên bị tràn.
Nhắc lại đề bài toán
Trong một dãy hữu hạn các số thực, tổng của 7 số hạng liên tiếp bất kì là âm và tổng của 11 số hạng liên tiếp bất kì là dương. Xác định số lượng số hạng tối đa của dãy số.Cách giải thứ hai
Giả sử tồn tại một dãy số (x_n) thỏa mãn có 17 số hạng trở lên.Từ 17 số hạng (đầu tiên) ta sắp xếp thành ma trận A (gồm 7 hàng và 11 cột) như sau: \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & x_6 & x_7 & x_8 & x_9 & x_{10} \ \ \ x_{11} \\ x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & x_6 & x_7 & x_8 & x_9 & x_{10} & x_{11} \ \ \ x_{12} \\ x_3 & x_4 & x_5 & x_6 & x_7 & x_8 & x_9 & x_{10} & x_{11} & x_{12} \ \ \ x_{13} \\ x_4 & x_5 & x_6 & x_7 & x_8 & x_9 & x_{10} & x_{11} & x_{12} & x_{13} \ \ \ x_{14} \\ x_5 & x_6 & x_7 & x_8 & x_9 & x_{10} & x_{11} & x_{12} & x_{13} & x_{14} \ \ \ x_{15} \\ x_6 & x_7 & x_8 & x_9 & x_{10} & x_{11} & x_{12} & x_{13} & x_{14} & x_{15} \ \ \ x_{16} \\ x_7 & x_8 & x_9 & x_{10} & x_{11} & x_{12} & x_{13} & x_{14} & x_{15} & x_{16} \ \ \ x_{17} \end{bmatrix}. Từ giả thiết của bài toán, tổng các số ở mỗi hàng (11 số hạng liên tiếp) của A là số dương nên tổng tất cả các số ở A là số dương.
Và tổng các số ở mỗi cột (7 số hạng liên tiếp) của A là số âm, do đó tổng tất cả các số trong A là số âm. Mâu thuẫn.
Điều mâu thuẫn này chứng tỏ dãy đã cho có không quá 16 số hạng.
Mặt khác, dãy 16 số hạng: 5, 5, -13, 5, 5, 5, -13, 5, 5, -13, 5, 5, 5, -13, 5, 5 thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Vậy số lượng số hạng tối đa của dãy là 16.
Lưu ý: Xoay ngang điện thoại để xem đầy đủ ma trận A hoặc xem ảnh ma trận A dưới đây nếu công thức toán phía trên bị tràn.