Cách giải khác cho bài toán của PGS Phan Đức Chính ở IMO 1977

Bài viết trước đã trình bày một lời giải hay cho bài toán dãy số của PGS Phan Đức Chính ở Kì thi Olympic Toán Quốc tế 1977. Bài này sẽ trì...

Bài viết trước đã trình bày một lời giải hay cho bài toán dãy số của PGS Phan Đức Chính ở Kì thi Olympic Toán Quốc tế 1977. Bài này sẽ trình bày một cách giải khác.

Nhắc lại đề bài toán

Trong một dãy hữu hạn các số thực, tổng của $7$ số hạng liên tiếp bất kì là âm và tổng của $11$ số hạng liên tiếp bất kì là dương. Xác định số lượng số hạng tối đa của dãy số.

Cách giải thứ hai

Giả sử tồn tại một dãy số $(x_n)$ thỏa mãn có $17$ số hạng trở lên.

Từ $17$ số hạng (đầu tiên) ta sắp xếp thành ma trận $A$ (gồm $7$ hàng và $11$ cột) như sau: \[\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & x_6 & x_7 & x_8 & x_9 & x_{10} \ \ \ x_{11} \\ x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & x_6 & x_7 & x_8 & x_9 & x_{10} & x_{11} \ \ \ x_{12} \\ x_3 & x_4 & x_5 & x_6 & x_7 & x_8 & x_9 & x_{10} & x_{11} & x_{12} \ \ \ x_{13} \\ x_4 & x_5 & x_6 & x_7 & x_8 & x_9 & x_{10} & x_{11} & x_{12} & x_{13} \ \ \ x_{14} \\ x_5 & x_6 & x_7 & x_8 & x_9 & x_{10} & x_{11} & x_{12} & x_{13} & x_{14} \ \ \ x_{15} \\ x_6 & x_7 & x_8 & x_9 & x_{10} & x_{11} & x_{12} & x_{13} & x_{14} & x_{15} \ \ \ x_{16} \\ x_7 & x_8 & x_9 & x_{10} & x_{11} & x_{12} & x_{13} & x_{14} & x_{15} & x_{16} \ \ \ x_{17} \end{bmatrix}.\] Từ giả thiết của bài toán, tổng các số ở mỗi hàng ($11$ số hạng liên tiếp) của $A$ là số dương nên tổng tất cả các số ở $A$ là số dương.
Và tổng các số ở mỗi cột ($7$ số hạng liên tiếp) của $A$ là số âm, do đó tổng tất cả các số trong $A$ là số âm. Mâu thuẫn.
Điều mâu thuẫn này chứng tỏ dãy đã cho có không quá $16$ số hạng.

Mặt khác, dãy $16$ số hạng: $5, 5, -13, 5, 5,$ $5, -13, 5, 5, -13,$ $ 5, 5, 5, -13, 5, 5$ thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Vậy số lượng số hạng tối đa của dãy là $16$.

Lưu ý: Xoay ngang điện thoại để xem đầy đủ ma trận $A$ hoặc xem ảnh ma trận $A$ dưới đây nếu công thức toán phía trên bị tràn.