Giải bài tập Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số thuộc SGK Toán 12 KNTTVCS Tập 1 chương trình mới, sử dụng từ năm học 2024-2025. Gồm ...
Giải bài tập Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số thuộc SGK Toán 12 KNTTVCS Tập 1 chương trình mới, sử dụng từ năm học 2024-2025. Gồm có 5 bài, từ 1.1 đến 1.5 trang 13 SGK Toán 12 mới.
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right).$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;1 \right).$
b) Từ đồ thị hàm số suy ra:
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -2;0 \right)$ và $\left( 2;+\infty \right).$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;2 \right)$ và $\left( 0;2 \right).$
Nhận xét: ${y}'>0~$với mọi $x\in \left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 3;+\infty \right);$
$~{y}'<0~$với mọi $x\in \left( 1;3 \right).$
Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;1 \right)~$và $\left( 3;+\infty \right),$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1;3 \right).$
b) Ta có: ${y}'=-3{{x}^{2}}+4x-5.$
Nhận xét: $~{y}'<0~$với mọi $x\in \mathbb{R}$. Do đó, hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Ta có: ${y}'=\dfrac{2\left( x+2 \right)-\left( 2x-1 \right)}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{5}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}>0,~\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}.$
Từ đó ta có: Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-2 \right)$ và $\left( -2;~+\infty \right).$
b) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}.$
Ta có: ${y}'=\dfrac{\left( 2x+1 \right)\left( x-3 \right)-\left( {{x}^{2}}+x+4 \right)}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{{{x}^{2}}-6x-7}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}};$
${y}'=0\Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=7.$
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$ và $\left( 7;~+\infty \right);$
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -1;3 \right)$ và $\left( 3;~7 \right).$
Ta có: ${y}'=\dfrac{-2x}{2\sqrt{4-{{x}^{2}}}}=\dfrac{-x}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}};$ ${y}'=0\Leftrightarrow x=0.$
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -2;0 \right).$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;~2 \right).$
b) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.
Ta có: ${y}'=\dfrac{\left( {{x}^{2}}+1 \right)-x\cdot 2x}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{-{{x}^{2}}+1}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}};$ ${y}'=0\Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=1.$
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -1;1 \right).$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;~-1 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right).$
b) Ta có ${N}'\left( t \right)=\dfrac{115}{{{\left( t+5 \right)}^{2}}}>0$, $t\ge 0$ và $\displaystyle \underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,N\left( t \right)=\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{25t+10}{t+5}=25$.
Do đó, số dân của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt quá 25 nghìn người.
Giải bài tập 1.1. trang 13
a) Từ đồ thị hàm số suy ra:Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right).$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;1 \right).$
b) Từ đồ thị hàm số suy ra:
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -2;0 \right)$ và $\left( 2;+\infty \right).$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;2 \right)$ và $\left( 0;2 \right).$
Giải bài tập 1.2. trang 13 Toán 12
a) Ta có: ${y}'={{x}^{2}}-4x+3.$Nhận xét: ${y}'>0~$với mọi $x\in \left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 3;+\infty \right);$
$~{y}'<0~$với mọi $x\in \left( 1;3 \right).$
Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;1 \right)~$và $\left( 3;+\infty \right),$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1;3 \right).$
b) Ta có: ${y}'=-3{{x}^{2}}+4x-5.$
Nhận xét: $~{y}'<0~$với mọi $x\in \mathbb{R}$. Do đó, hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Giải bài tập 1.3. SGK trang 13
a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}.$Ta có: ${y}'=\dfrac{2\left( x+2 \right)-\left( 2x-1 \right)}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{5}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}>0,~\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}.$
Từ đó ta có: Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-2 \right)$ và $\left( -2;~+\infty \right).$
b) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}.$
Ta có: ${y}'=\dfrac{\left( 2x+1 \right)\left( x-3 \right)-\left( {{x}^{2}}+x+4 \right)}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{{{x}^{2}}-6x-7}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}};$
${y}'=0\Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=7.$
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$ và $\left( 7;~+\infty \right);$
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -1;3 \right)$ và $\left( 3;~7 \right).$
Giải bài 1.4. trang 13 SGK Toán 12
a) Tập xác định của hàm số là $\left[ -2;2 \right].$Ta có: ${y}'=\dfrac{-2x}{2\sqrt{4-{{x}^{2}}}}=\dfrac{-x}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}};$ ${y}'=0\Leftrightarrow x=0.$
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -2;0 \right).$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;~2 \right).$
b) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.
Ta có: ${y}'=\dfrac{\left( {{x}^{2}}+1 \right)-x\cdot 2x}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{-{{x}^{2}}+1}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}};$ ${y}'=0\Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=1.$
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -1;1 \right).$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;~-1 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right).$
Giải bài tập 1.5. Toán lớp 12 trang 13
a) Dân số của thị trấn vào các năm 2000 và 2015 lần lượt là N(0) = 2 (nghìn người) và N(15) = 19,25 (nghìn người).b) Ta có ${N}'\left( t \right)=\dfrac{115}{{{\left( t+5 \right)}^{2}}}>0$, $t\ge 0$ và $\displaystyle \underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,N\left( t \right)=\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{25t+10}{t+5}=25$.
Do đó, số dân của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt quá 25 nghìn người.