Giải bài tập 1.6, 1.7, 1.8, 1.9 trang 14 SGK Toán 12 tập 1 KNTT chương trình mới, thuộc Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số - Chương ...
Giải bài tập 1.6, 1.7, 1.8, 1.9 trang 14 SGK Toán 12 tập 1 KNTT chương trình mới, thuộc Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số - Chương 1.
a) Hàm số $f(x)$ đồng biến trên các khoảng $\left( 2;4 \right)$ và $\left( 6;+\infty \right),~$vì trong các khoảng đó ${f}'\left( x \right)>0.$
b) Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm $x=2$ và $x=6$ vì tại đó $f’(x)$ đổi dấu từ âm sang dương.
Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=4$ vì tại đó $f’(x)$ đổi dấu từ dương sang âm.
a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}.$
Ta có: ${y}'=6{{x}^{2}}-18x+12;$ ${y}'=0\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=2.$
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ và ${{y}_{CD}}=y\left( 1 \right)=0.$
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ và ${{y}_{CT}}=y\left( 2 \right)=-1.$
b) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}.$
Ta có: ${y}'=4{{x}^{3}}-8x;$ ${y}'=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=\pm \sqrt{2}.$
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và ${{y}_{CD}}=y\left( 0 \right)=2.$
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\pm \sqrt{2}~$và ${{y}_{CT}}=y\left( \pm \sqrt{2} \right)=-2.$
c) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.$
Ta có: ${y}'=\dfrac{\left( 2x-2 \right)\left( x-1 \right)-\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{{{x}^{2}}-2x-1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}};$
${y}'=0\Leftrightarrow x=1-\sqrt{2}$ hoặc $~x=1+\sqrt{2}.$
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đạt cực đại tại $x = 1-\sqrt{2}$ và ${{y}_{CD}}=y\left( 1-\sqrt{2} \right)=-2\sqrt{2}.$
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1+\sqrt{2}$ và ${{y}_{CT}}=y\left( 1+\sqrt{2} \right)=2\sqrt{2}.$
d) Tập xác định của hàm số là $\left[ 0;2 \right].$
Ta có: ${y}'=\dfrac{4-4x}{2\sqrt{4x-2{{x}^{2}}}}$ $=\dfrac{2-2x}{\sqrt{4x-2{{x}^{2}}}};$ ${y}'=0\Leftrightarrow x=1.$
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên, ta có: Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ và ${{y}_{CD}}=y\left( 1 \right)=\sqrt{2}.$
a) Ta có: $\displaystyle\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x-0}{x-0}=1;$ $\displaystyle\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-x-0}{x-0}=-1.~$
Từ đây, suy ra không tồn tại giới hạn $\displaystyle\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0},$tức là hàm số $f\left( x \right)=\left| x \right|$ không có đạo hàm tại điểm $x=0.$
b) Từ định nghĩa (hoặc từ đồ thị) suy ra hàm số $f\left( x \right)=\left| x \right|$ đạt cực tiểu tại điểm $x=0.$
Ta có: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{25~000{{\text{e}}^{-t}}}{{{\left( 1+5{{\text{e}}^{-t}} \right)}^{2}}}>0,\,\,\forall t$ và $\displaystyle\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=5~000.$
Do đó, doanh số luôn tăng nhưng sẽ không vượt quá $5 000$.
Ta có: ${f}''\left( t \right)=\dfrac{25~000~{{\text{e}}^{-t}}\left( 25{{\text{e}}^{-2t}}-1 \right)}{{{\left( 1+5{{\text{e}}^{-t}} \right)}^{4}}};$ ${f}''\left( t \right)=0\Leftrightarrow {{\text{e}}^{-2t}}=\dfrac{1}{25}\Leftrightarrow t=\ln 5\approx 1,6.$
Do ${f}''\left( t \right)>0$ với mọi $t\in [0,\ln 5)$ và ${f}''\left( t \right)<0$ với mọi $t>\ln 5$, nên ${f}'\left( t \right)$ đạt GTLN tại $t=\ln 5$ và $\displaystyle\underset{t\ge 0}{\mathop{\max }}\,{f}'\left( t \right)={f}'\left( \ln 5 \right)=\dfrac{5\,~000}{{{\left( 1+1 \right)}^{4}}}=312,5.$
Vậy sau khi phát hành sản phẩm khoảng $1,6$ năm thì tốc độ bán hàng lớn nhất.
Giải bài tập 1.6 trang 14
a) Hàm số $f(x)$ đồng biến trên các khoảng $\left( 2;4 \right)$ và $\left( 6;+\infty \right),~$vì trong các khoảng đó ${f}'\left( x \right)>0.$
b) Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm $x=2$ và $x=6$ vì tại đó $f’(x)$ đổi dấu từ âm sang dương.
Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=4$ vì tại đó $f’(x)$ đổi dấu từ dương sang âm.
Giải bài tập 1.7 trang 14 SGK
a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}.$
Ta có: ${y}'=6{{x}^{2}}-18x+12;$ ${y}'=0\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=2.$
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ và ${{y}_{CD}}=y\left( 1 \right)=0.$
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ và ${{y}_{CT}}=y\left( 2 \right)=-1.$
b) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}.$
Ta có: ${y}'=4{{x}^{3}}-8x;$ ${y}'=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=\pm \sqrt{2}.$
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và ${{y}_{CD}}=y\left( 0 \right)=2.$
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\pm \sqrt{2}~$và ${{y}_{CT}}=y\left( \pm \sqrt{2} \right)=-2.$
c) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.$
Ta có: ${y}'=\dfrac{\left( 2x-2 \right)\left( x-1 \right)-\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{{{x}^{2}}-2x-1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}};$
${y}'=0\Leftrightarrow x=1-\sqrt{2}$ hoặc $~x=1+\sqrt{2}.$
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Hàm số đạt cực đại tại $x = 1-\sqrt{2}$ và ${{y}_{CD}}=y\left( 1-\sqrt{2} \right)=-2\sqrt{2}.$
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1+\sqrt{2}$ và ${{y}_{CT}}=y\left( 1+\sqrt{2} \right)=2\sqrt{2}.$
d) Tập xác định của hàm số là $\left[ 0;2 \right].$
Ta có: ${y}'=\dfrac{4-4x}{2\sqrt{4x-2{{x}^{2}}}}$ $=\dfrac{2-2x}{\sqrt{4x-2{{x}^{2}}}};$ ${y}'=0\Leftrightarrow x=1.$
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Lời giải bài tập 1.8 trang 14
a) Ta có: $\displaystyle\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x-0}{x-0}=1;$ $\displaystyle\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-x-0}{x-0}=-1.~$
Từ đây, suy ra không tồn tại giới hạn $\displaystyle\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0},$tức là hàm số $f\left( x \right)=\left| x \right|$ không có đạo hàm tại điểm $x=0.$
b) Từ định nghĩa (hoặc từ đồ thị) suy ra hàm số $f\left( x \right)=\left| x \right|$ đạt cực tiểu tại điểm $x=0.$
Giải bài tập 1.9 trang 14 Toán 12
Ta có: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{25~000{{\text{e}}^{-t}}}{{{\left( 1+5{{\text{e}}^{-t}} \right)}^{2}}}>0,\,\,\forall t$ và $\displaystyle\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=5~000.$
Do đó, doanh số luôn tăng nhưng sẽ không vượt quá $5 000$.
Ta có: ${f}''\left( t \right)=\dfrac{25~000~{{\text{e}}^{-t}}\left( 25{{\text{e}}^{-2t}}-1 \right)}{{{\left( 1+5{{\text{e}}^{-t}} \right)}^{4}}};$ ${f}''\left( t \right)=0\Leftrightarrow {{\text{e}}^{-2t}}=\dfrac{1}{25}\Leftrightarrow t=\ln 5\approx 1,6.$
Do ${f}''\left( t \right)>0$ với mọi $t\in [0,\ln 5)$ và ${f}''\left( t \right)<0$ với mọi $t>\ln 5$, nên ${f}'\left( t \right)$ đạt GTLN tại $t=\ln 5$ và $\displaystyle\underset{t\ge 0}{\mathop{\max }}\,{f}'\left( t \right)={f}'\left( \ln 5 \right)=\dfrac{5\,~000}{{{\left( 1+1 \right)}^{4}}}=312,5.$
Vậy sau khi phát hành sản phẩm khoảng $1,6$ năm thì tốc độ bán hàng lớn nhất.
