Cách tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số và ví dụ có lời giải chi tiết. Bài toán tổng quát: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y...
Cách tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số và ví dụ có lời giải chi tiết.
Bài toán tổng quát: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{A{{x}^{2}}+Bx+C}{cx+d}=f(x)$.
Đường thẳng $y = ax + b$ $(a \ne 0)$ gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu $\mathop \lim \limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0$ hoặc $\mathop \lim \limits_{x \to - \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0$.
Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức (ở tử) cho đa thức (ở mẫu) ta được $y=ax+b+\dfrac{M}{cx+d}$$(a \ne 0)$ với $M$ là hằng số.
Bước 2: Tính giới hạn
$\mathop \lim \limits_{x \to + \infty } \left[ f(x)-(ax+b) \right]=\lim \limits_{x \to + \infty }\dfrac{M}{cx+d}=0$ hoặc/và $\lim \limits_{x \to - \infty }\left[ f(x)-(ax+b) \right]=\lim \limits_{x \to - \infty }\dfrac{M}{cx+d}=0$.
Bước 3: Kết luận đường thẳng $y = ax + b$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Lời giải.
Thực hiện phép chia đa thức (ở tử) cho đa thức (ở mẫu) ta được:
$y=\dfrac{{{x}^{2}}+4x-7}{x-2}=x+6+\dfrac{5}{x-2}=f(x)$.
Từ đó:$\lim \limits_{x \to + \infty } \left[ f(x)-(x+6) \right]=\lim \limits_{x \to + \infty } \dfrac{5}{x-2}=0$ và $\lim \limits_{x \to - \infty }\left[ f(x)-(x+6) \right]=\lim \limits_{x \to - \infty }\dfrac{5}{x-2}=0$.
Vậy đường thẳng $y=x+6$ là đường tiệm cận xiên của đths đã cho.
Lời giải.
Thực hiện phép chia đa thức (ở tử) cho đa thức (ở mẫu) ta được:
$y=\dfrac{-{{x}^{2}}+4x-1}{x+3}$ $=-x+7-\dfrac{22}{x+3}=f(x)$.
Từ đó:$\lim \limits_{x \to + \infty } \left[ f(x)-(-x+7) \right]=\lim \limits_{x \to + \infty } \dfrac{-22}{x+3}=0$ và $\lim \limits_{x \to - \infty }\left[ f(x)-(-x+7) \right]=\lim \limits_{x \to - \infty }\dfrac{-22}{x+3}=0$.
Vậy đường thẳng $y=-x+7$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Lời giải.
Thực hiện phép chia đa thức (ở tử) cho đa thức (ở mẫu) ta được:
$y=\dfrac{2{{x}^{2}}-9x+3}{x+2}$ $=2x-13+\dfrac{29}{x+2}=f(x)$.
Từ đó:$\lim \limits_{x \to + \infty } \left[ f(x)-(2x-13) \right]=\lim \limits_{x \to + \infty } \dfrac{29}{x+2}=0$ và $\lim \limits_{x \to - \infty }\left[ f(x)-(2x-13) \right]=\lim \limits_{x \to - \infty }\dfrac{29}{x+2}=0$.
Vậy đường thẳng $y=2x-13$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
Cách tìm tiệm cận xiên bằng định nghĩa
Nhắc lại định nghĩa đường tiệm cận xiên:Đường thẳng $y = ax + b$ $(a \ne 0)$ gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu $\mathop \lim \limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0$ hoặc $\mathop \lim \limits_{x \to - \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0$.
Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức (ở tử) cho đa thức (ở mẫu) ta được $y=ax+b+\dfrac{M}{cx+d}$$(a \ne 0)$ với $M$ là hằng số.
Bước 2: Tính giới hạn
$\mathop \lim \limits_{x \to + \infty } \left[ f(x)-(ax+b) \right]=\lim \limits_{x \to + \infty }\dfrac{M}{cx+d}=0$ hoặc/và $\lim \limits_{x \to - \infty }\left[ f(x)-(ax+b) \right]=\lim \limits_{x \to - \infty }\dfrac{M}{cx+d}=0$.
Bước 3: Kết luận đường thẳng $y = ax + b$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Các ví dụ có lời giải
Ví dụ 1a.
Tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}+4x-7}{x-2}$.Lời giải.
Thực hiện phép chia đa thức (ở tử) cho đa thức (ở mẫu) ta được:
$y=\dfrac{{{x}^{2}}+4x-7}{x-2}=x+6+\dfrac{5}{x-2}=f(x)$.
Từ đó:$\lim \limits_{x \to + \infty } \left[ f(x)-(x+6) \right]=\lim \limits_{x \to + \infty } \dfrac{5}{x-2}=0$ và $\lim \limits_{x \to - \infty }\left[ f(x)-(x+6) \right]=\lim \limits_{x \to - \infty }\dfrac{5}{x-2}=0$.
Vậy đường thẳng $y=x+6$ là đường tiệm cận xiên của đths đã cho.
Ví dụ 2b.
Tìm tiệm cận xiên (TCX) của đồ thị hàm số $y=\dfrac{-{{x}^{2}}+4x-1}{x+3}$.Lời giải.
Thực hiện phép chia đa thức (ở tử) cho đa thức (ở mẫu) ta được:
$y=\dfrac{-{{x}^{2}}+4x-1}{x+3}$ $=-x+7-\dfrac{22}{x+3}=f(x)$.
Từ đó:$\lim \limits_{x \to + \infty } \left[ f(x)-(-x+7) \right]=\lim \limits_{x \to + \infty } \dfrac{-22}{x+3}=0$ và $\lim \limits_{x \to - \infty }\left[ f(x)-(-x+7) \right]=\lim \limits_{x \to - \infty }\dfrac{-22}{x+3}=0$.
Vậy đường thẳng $y=-x+7$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Ví dụ 3c.
Tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2{{x}^{2}}-9x+3}{x+2}$.Lời giải.
Thực hiện phép chia đa thức (ở tử) cho đa thức (ở mẫu) ta được:
$y=\dfrac{2{{x}^{2}}-9x+3}{x+2}$ $=2x-13+\dfrac{29}{x+2}=f(x)$.
Từ đó:$\lim \limits_{x \to + \infty } \left[ f(x)-(2x-13) \right]=\lim \limits_{x \to + \infty } \dfrac{29}{x+2}=0$ và $\lim \limits_{x \to - \infty }\left[ f(x)-(2x-13) \right]=\lim \limits_{x \to - \infty }\dfrac{29}{x+2}=0$.
Vậy đường thẳng $y=2x-13$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
