Chứng minh định lí cosin bằng hai cách

Bài viết này sẽ đăng 2 cách chứng minh định lí cô-sin (cosin). Định lí cosin Cho tam giác $ABC$ (bất kì) có $BC=a, CA=b, AB=c$. Khi đó: $$...

Bài viết này sẽ đăng 2 cách chứng minh định lí cô-sin (cosin).

Định lí cosin

Cho tam giác $ABC$ (bất kì) có $BC=a, CA=b, AB=c$. Khi đó: $$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.$$

Chứng minh định lí cosin

Cách 1 (sử dụng tích vô hướng của hai vectơ)

Ta có
$BC^2=\vec{BC}^2=(\vec{AC}-\vec{AB})^2$
$=\vec{AC}^2+\vec{AB}^2-2\vec{AC}.\vec{AB}$
$=AC^2+AB^2-2AC.AB.\cos A$
Vậy $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$.

Cách 2 (sử dụng định lí Pythagore - Pitago)

Kí hiệu góc $\angle BAC=\alpha$. Ta chia 3 trường hợp: $\alpha$ nhọn, $\alpha$ tù và $\alpha$ vuông. Xem chi tiết hướng dẫn chứng minh trong các ảnh dưới.

Trường hợp cuối cùng chính là định lí Pitago mà ta đã biết ($\alpha=90^o$ thì $\cos \alpha =0$).
Vậy, ta luôn có $a^2=b^2+c^2-2bc \cos \alpha.$

Theo SGK Toán 10. Người đăng: Mr. Math.