Bài viết này sẽ nêu (một) điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc nhau. ĐỊNH LÍ Điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đ...
Bài viết này sẽ nêu (một) điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc nhau.
Điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là tổng bình phương các cặp cạnh đối diện bằng nhau.
Xét tứ giác $ABCD$. Trước hết ta chứng minh bổ đề sau: $$AB^2+CD^2=AD^2+BC^2+2\vec{CA}.\vec{BD} \ \ (*).$$
Thật vậy, ta có
$AB^2+CD^2-AD^2-BC^2\\ =(\vec{CB}-\vec{CA})^2+CD^2-(\vec{CD}-\vec{CA})^2-BC^2\\ =-2\vec{CB}.\vec{CA}+2\vec{CD}.\vec{CA}\\ =2\vec{CA}.(\vec{BC}+\vec{CD})\\ =2\vec{CA}.\vec{BD}$
Từ đó suy ra đẳng thức $(*)$ cần chứng minh.
Trở lại với bài toán ban đầu, từ đẳng thức $(*)$ ta có:
$CA \perp BD \Leftrightarrow \vec{CA} .\vec{BD}=0 \Leftrightarrow AB^2+CD^2=AD^2+BC^2.$
Vậy định lí được chứng minh.
ĐỊNH LÍ
Điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là tổng bình phương các cặp cạnh đối diện bằng nhau.
CHỨNG MINH
Xét tứ giác $ABCD$. Trước hết ta chứng minh bổ đề sau: $$AB^2+CD^2=AD^2+BC^2+2\vec{CA}.\vec{BD} \ \ (*).$$
Thật vậy, ta có
$AB^2+CD^2-AD^2-BC^2\\ =(\vec{CB}-\vec{CA})^2+CD^2-(\vec{CD}-\vec{CA})^2-BC^2\\ =-2\vec{CB}.\vec{CA}+2\vec{CD}.\vec{CA}\\ =2\vec{CA}.(\vec{BC}+\vec{CD})\\ =2\vec{CA}.\vec{BD}$
Từ đó suy ra đẳng thức $(*)$ cần chứng minh.
Trở lại với bài toán ban đầu, từ đẳng thức $(*)$ ta có:
$CA \perp BD \Leftrightarrow \vec{CA} .\vec{BD}=0 \Leftrightarrow AB^2+CD^2=AD^2+BC^2.$
Vậy định lí được chứng minh.
[Lưu ý: Xoay ngang màn hình điện thoại nếu bị tràn công thức toán.]
Người đăng: Mr. Math.
