Đề thi MIT Integration Bee năm 2020 có câu tích phân lượng giác sau đây. Đề câu tích phân lượng giác ở MIT 2020 Tính tích phân $$I=\int_{...
Đề thi MIT Integration Bee năm 2020 có câu tích phân lượng giác sau đây.
Tính tích phân $$I=\int_{0}^{\pi/2} \sin(2x)\cos(\cos x)\text{d} x.$$
Dùng công thức lượng giác nhân đôi $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ ta viết lại
$I=\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} 2\sin x \cos x.\cos(\cos x)\text{d} x.$
Đặt $t=\cos x$, ta có $\text{d}t=-\sin x \text{d}x$ hay $\sin x \text{d} x=-\text{d}t$.
Đổi cận: $x=0 \Rightarrow t=1;\\ x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow t=0.$
Từ đó $I=\displaystyle -2\int_{1}^{0} t\cos t \text{d}t=2\int_{0}^{1} t\cos t \text{d}t$.
Tích phân từng phần với $u=t, \text{d}v=\cos t \text{d}t$ ta được
$I=\displaystyle 2(t\sin t |_{0}^1- \int_{0}^{1} \sin t \text{d}t)\\ =2(\sin 1 +\cos t |_0^1)= 2(\sin 1 + \cos 1 - 1).$
Xem thêm: Full đề tích phân ở MIT năm 2020 (gồm 20 câu).
Đề câu tích phân lượng giác ở MIT 2020
Tính tích phân $$I=\int_{0}^{\pi/2} \sin(2x)\cos(\cos x)\text{d} x.$$
Lời giải chi tiết
Cách trình bày 1.
Dùng công thức lượng giác nhân đôi $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ ta viết lại
$I=\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} 2\sin x \cos x.\cos(\cos x)\text{d} x.$
Đặt $t=\cos x$, ta có $\text{d}t=-\sin x \text{d}x$ hay $\sin x \text{d} x=-\text{d}t$.
Đổi cận: $x=0 \Rightarrow t=1;\\ x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow t=0.$
Từ đó $I=\displaystyle -2\int_{1}^{0} t\cos t \text{d}t=2\int_{0}^{1} t\cos t \text{d}t$.
Tích phân từng phần với $u=t, \text{d}v=\cos t \text{d}t$ ta được
$I=\displaystyle 2(t\sin t |_{0}^1- \int_{0}^{1} \sin t \text{d}t)\\ =2(\sin 1 +\cos t |_0^1)= 2(\sin 1 + \cos 1 - 1).$
Cách trình bày 2. (Trần Bình)
Theo FB MathVN. Người đăng: Mr. Math.
