Cách tính đạo hàm của hàm số y=arcsinx, y=arccosx

Bài viết này sẽ tính đạo hàm của các hàm số lượng giác ngược $y=\arcsin x$ và $y=\arccos x$. Trước hết, ta nhắc lại: Hàm số $y=\arcsin x$ c...

Bài viết này sẽ tính đạo hàm của các hàm số lượng giác ngược $y=\arcsin x$ và $y=\arccos x$.

Trước hết, ta nhắc lại: Hàm số $y=\arcsin x$ có tập xác định là $D=[-1;1]$ và có tập giá trị là $T=[-\pi/2;\pi/2]$. Ta sẽ tính đạo hàm của nó trên khoảng $(-1;1)$, tức trừ hai đầu mút.

Bài toán 1

Tính đạo hàm của hàm số $y=\arcsin x$ trên khoảng $(-1;1)$.

Lời giải

Theo định nghĩa hàm lượng giác ngược, từ $y=\arcsin x$ ta có: $$\sin y=x.$$ Lấy đạo hàm theo biến $x$ hai vế ta được: $$\cos y. \ y'= 1$$ $$\Rightarrow y'=\frac{1}{\cos y} \ \ (*).$$ Do $x\in (-1;1)$ nên $y\in (-\pi/2;\pi/2)$, do đó $\cos y >0$.
Từ đó $\cos y=\sqrt{1-\sin^2 y}=\sqrt{1-x^2}$.
Thay vào $(*)$ ta được $y'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
Vậy:

$$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \forall x \in (-1;1).$$

Bài toán 2

Tính đạo hàm của hàm số $y=\arccos x$ trên khoảng $(-1;1)$.

Giải. Tương tự như lời giải bài toán 1 với lưu ý $\arccos x=y \in (0;\pi)$, ta được:

$$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \forall x \in (-1;1).$$

Hệ quả (nguyên hàm)

Từ kết quả ở bài toán 1, ta có ngay công thức nguyên hàm sau đây:

$$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx =\arcsin x + C$$

Xem thêm: Đạo hàm của hàm y=arctanx, y=arccotx.

Theo Math VN. Người đăng: Mr. Math.