Các hàm số lượng giác ngược: Định nghĩa, tập xác định, tập giá trị, đạo hàm

Bài viết này sẽ đăng các kiến thức cơ bản của các hàm số lượng giác ngược: arcsin, arccos, arctan và arccot. Kí hiệu, định nghĩa, tập xác đ...

Bài viết này sẽ đăng các kiến thức cơ bản của các hàm số lượng giác ngược: arcsin, arccos, arctan và arccot.

Kí hiệu, định nghĩa, tập xác định, tập giá trị

Kí hiệu, định nghĩa, tập xác định, tập giá trị của 4 hàm số lượng giác ngược $y=\arcsin x$, $y=\arccos x$, $y=\arctan x$, $y=\text{arccot} x$ được tóm tắt trong bảng sau:

Đạo hàm của hàm số lượng giác ngược

1) $(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \forall x \in (-1;1).$
2) $(\arccos x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \forall x \in (-1;1).$
👉 Xem chứng minh hai công thức 1) và 2): [Bấm xem ##eye##]
3) $(\arctan x)'=\dfrac{1}{x^2+1}, \forall x \in \mathbb{R}.$
4) $(\text{arccot } x)'=-\dfrac{1}{x^2+1}, \forall x \in \mathbb{R}.$
👉 Xem chứng minh hai công thức 3) và 4): [Bấm xem ##eye##]

Tính đơn điệu của hàm lượng giác ngược

Từ bảng đạo hàm trên ta có
1) Hàm số $y=\arcsin x$ đồng biến trên $[-1;1]$.
2) Hàm số $y=\arccos x$ nghịch biến trên $[-1;1]$.
3) Hàm số $y=\arctan x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
4) Hàm số $y=\text{arccot} x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Hệ quả (nguyên hàm có liên quan)

1) $\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C$
2) $\displaystyle\int \dfrac{dx}{x^2+1}=\arctan x+C$

Theo MathVN. Người đăng: Mr. Math.