Một thành viên Diễn đàn toán học fanpage có hỏi bài toán hình học sau đây. Bài toán 1 . Trong các tam giác nội tiếp một đường tròn thì tam ...
Một thành viên Diễn đàn toán học fanpage có hỏi bài toán hình học sau đây.
Bài toán 1. Trong các tam giác nội tiếp một đường tròn thì tam giác nào có chu vi lớn nhất?
Lời giải. Gọi $R$ là bán kính đường tròn. Độ dài các cạnh của tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn là $a, b, c$.
Theo định lí sin ta có
$a=2R\sin A, b=2R\sin B, c=2R\sin C.$
Do đó chu vi tam giác $ABC$ là
$P=a+b+c=2R (\sin A+\sin B+ \sin C).$
Xét $f(x) = \sin x$ với $x\in (0;\pi).$
Ta có $f'(x)=\cos x, $
và $ f''(x)=-\sin x < 0, \forall x\in (0;\pi),$
nên theo bất đẳng thức Jensen ta có
$\sin A+\sin B+ \sin C \leq 3\sin\frac{A+B+C}{3} = 3\sin \frac{\pi}{3}= \frac{3\sqrt{3}}{2}.$
Do đó $P \leq 3\sqrt{3}R.$
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $A=B=C=\frac{\pi}{3}.$
Vậy trong các tam giác đó, tam giác có chu vi lớn nhất là tam giác đều, và $P_{max}= 3\sqrt{3}R.$
Lưu ý: Một chứng minh khác (không dùng Jensen, xem bài 3): Bấm để xem.
Ngoài ra, một vấn đề liên quan sau khi gặp bài toán 1 là:
Bài toán 2. Trong các tam giác cùng nội tiếp một đường tròn, tam giác nào có diện tích lớn nhất?
Lời giải. (Hồ Xuân Đức)
Ta có
$S=\frac{abc}{4R} \leq \frac{(a+b+c)^3}{108R} \leq \frac{(3\sqrt{3}R)^3}{108R} = \frac{3\sqrt{3}R^2}{4}.$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ và $A=B=C$.
Vậy tam giác có diện tích lớn nhất là tam giác đều, và $S_{max}=\frac{3\sqrt{3}R^2}{4}.$
Kiến thức dùng trong bài:
Bài toán 1. Trong các tam giác nội tiếp một đường tròn thì tam giác nào có chu vi lớn nhất?
Lời giải. Gọi $R$ là bán kính đường tròn. Độ dài các cạnh của tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn là $a, b, c$.
Theo định lí sin ta có
$a=2R\sin A, b=2R\sin B, c=2R\sin C.$
Do đó chu vi tam giác $ABC$ là
$P=a+b+c=2R (\sin A+\sin B+ \sin C).$
Xét $f(x) = \sin x$ với $x\in (0;\pi).$
Ta có $f'(x)=\cos x, $
và $ f''(x)=-\sin x < 0, \forall x\in (0;\pi),$
nên theo bất đẳng thức Jensen ta có
$\sin A+\sin B+ \sin C \leq 3\sin\frac{A+B+C}{3} = 3\sin \frac{\pi}{3}= \frac{3\sqrt{3}}{2}.$
Do đó $P \leq 3\sqrt{3}R.$
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $A=B=C=\frac{\pi}{3}.$
Vậy trong các tam giác đó, tam giác có chu vi lớn nhất là tam giác đều, và $P_{max}= 3\sqrt{3}R.$
Lưu ý: Một chứng minh khác (không dùng Jensen, xem bài 3): Bấm để xem.
Ngoài ra, một vấn đề liên quan sau khi gặp bài toán 1 là:
Bài toán 2. Trong các tam giác cùng nội tiếp một đường tròn, tam giác nào có diện tích lớn nhất?
Lời giải. (Hồ Xuân Đức)
Ta có
$S=\frac{abc}{4R} \leq \frac{(a+b+c)^3}{108R} \leq \frac{(3\sqrt{3}R)^3}{108R} = \frac{3\sqrt{3}R^2}{4}.$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ và $A=B=C$.
Vậy tam giác có diện tích lớn nhất là tam giác đều, và $S_{max}=\frac{3\sqrt{3}R^2}{4}.$
Kiến thức dùng trong bài:
- Định lí sin, công thức diện tích tam giác: https://www.mathvn.com/2014/02/inh-li-cosin-inh-ly-sin-cac-cong-thuc.html
- Bất đẳng thức Jensen: https://www.mathvn.com/2021/05/bat-ang-thuc-jensen-cac-he-qua-va-vi-du.html
Theo FB MathVn. Người đăng: Mr. Math.
