Có tồn tại tam giác đều mà các đỉnh có toạ độ nguyên?

Bài toán 1 . Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy$, có tồn tại tam giác đều nào mà các đỉnh đều có toạ độ nguyên? Lời giải. (Hồ Xuân Đức) G...

Bài toán 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy$, có tồn tại tam giác đều nào mà các đỉnh đều có toạ độ nguyên?

Lời giải. (Hồ Xuân Đức)
Giả sử tồn tại tam giác đều $XYZ$ mà toạ độ các đỉnh là các cặp số nguyên.
Tịnh tiến $∆XYZ$ theo vector $\vec{XO}$
ta được một tam giác đều có đỉnh $O$, kí hiệu là $OAB$.

Do $X$ có tọa độ nguyên nên vector $\vec{XO}$
có tọa độ nguyên. Vì vậy tam giác $OAB$ cũng có toạ độ các đỉnh là các cặp số nguyên.

Giả sử tam giác đều $OAB$ có cạnh $r >0$, khi đó ta có $A(r\cos t;r\sin t)$ và $B(r\cos(t+\frac{\pi}{3});r\sin(t+\frac{\pi}{3})).$

Ta có:
$r\cos(t+\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}r\cos t-\frac{\sqrt{3}}{2}r\sin t,$
$ r\sin(t+\frac{\pi}{3})= \frac{1}{2}r\sin t+\frac{\sqrt{3}}{2}r\cos t.$

Mà $A$ có toạ độ nguyên nên $r\cos t$ và $r\sin t$ đều là những số nguyên (không đồng thời bằng $0$), do đó vế phải của ít nhất một trong hai đẳng thức trên là số vô tỉ.
Trong khi vế trái của chúng luôn là số nguyên (do điểm $B$ có toạ độ nguyên). Điều này là vô lí.

Vậy trong mặt phẳng $Oxy$, không tồn tại tam giác đều nào mà các đỉnh đều có toạ độ nguyên.

Lời giải khác. (Trà Quốc Anh)

Bài toán 2. Trong không gian $Oxyz$, có tồn tại tam giác đều mà các đỉnh có toạ độ nguyên?

Lời giải. 

Câu trả lời là có (vô số) tam giác như vậy.

Chẳng hạn, với $A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1)$ thì tam giác $ABC$ đều.

 
Bạn đọc có thể dễ dàng chỉ ra vô số tam giác tương tự. 

Theo FB MathVn. Người đăng: Mr. Math.