Một câu trong đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường chuyên Lam Sơn (Thanh Hóa) dẫn đến bài toán khá thú vị sau đây. Bài toán 1 . Cho ba số ...
Một câu trong đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường chuyên Lam Sơn (Thanh Hóa) dẫn đến bài toán khá thú vị sau đây.
$(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a})^2=\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}.$
Giải.
Dùng hằng đẳng thức số 10 để khai triển vế trái ta được:
$(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a})^2=2(\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(b-c)(c-a)}+\frac{1}{(c-a)(a-b)})+\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}$
Mà
$\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(b-c)(c-a)}+\frac{1}{(c-a)(a-b)}=\frac{c-a+a-b+b-c}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0$
nên ta có đẳng thức cần chứng minh.
Bài toán 2. (Đề chuyên Lam Sơn 2021)
Cho ba số hữu tỉ $a,b,c$ phân biệt. Chứng minh
$D=\sqrt{\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}}$
cũng là một số hữu tỉ.
Giải.
Theo bài toán 1 thì
$D=\sqrt{\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}}\\ =\sqrt{(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a})^2}\\ =|\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}|.$
Do đó nếu $a,b,c$ hữu tỉ thì $D$ cũng là số hữu tỉ.
Bài toán 1. Cho ba số thực $a,b,c$ phân biệt. Chứng minh rằng
$(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a})^2=\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}.$
Giải.
Dùng hằng đẳng thức số 10 để khai triển vế trái ta được:
$(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a})^2=2(\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(b-c)(c-a)}+\frac{1}{(c-a)(a-b)})+\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}$
Mà
$\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(b-c)(c-a)}+\frac{1}{(c-a)(a-b)}=\frac{c-a+a-b+b-c}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0$
nên ta có đẳng thức cần chứng minh.
Bài toán 2. (Đề chuyên Lam Sơn 2021)
Cho ba số hữu tỉ $a,b,c$ phân biệt. Chứng minh
$D=\sqrt{\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}}$
cũng là một số hữu tỉ.
Giải.
Theo bài toán 1 thì
$D=\sqrt{\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}}\\ =\sqrt{(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a})^2}\\ =|\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}|.$
Do đó nếu $a,b,c$ hữu tỉ thì $D$ cũng là số hữu tỉ.
Theo FB MathVn. Người đăng: Mr. Math.
