Bất đẳng thức giữa trung bình nhân và trung bình điều hòa

Trong bài viết này, ta chỉ xét các số thực dương. Trung bình nhân là gì? Trung bình nhân của hai số thực dương $a, b$ là số $G=\sqrt{ab}.$...

Trong bài viết này, ta chỉ xét các số thực dương.

Trung bình nhân là gì?

Trung bình nhân của hai số thực dương $a, b$ là số $G=\sqrt{ab}.$

Trung bình điều hòa là gì?

Trung bình điều hòa của hai số thực dương $a, b$ là số $H=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}.$

Bất đẳng thức giữa trung bình nhân và trung bình điều hòa

Với hai số thực dương $a, b$, ta luôn có $G \geq H$, hay $$\sqrt{ab}\geq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \ \ \ (*)$$ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b$.

Chứng minh

Ta có $(*) \Leftrightarrow \sqrt{ab}\geq \frac{2ab}{a+b} \\ \Leftrightarrow a+b \geq 2\sqrt{ab}\\ \Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq 0$

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên bất đẳng thức $(*)$ cũng đúng.

Rõ ràng, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b$.

Lưu ý

Kết hợp với bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) ta được mối liên hệ giữa bộ ba trung bình Pythagoras (trung bình cộng, trung bình nhân và trung bình điều hòa) của hai số dương $a,b$ như sau: $$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}\geq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$$ Các đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b$.

Minh hoạ hình học cho bộ bất đẳng thức trên (ảnh: Trần Công Hưng).

Theo MathVn. Người đăng: Mr. Math.