Bài toán 1 . Cho đa giác đều $2n$ cạnh. Lấy ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều. a) Tính xác suất để 3 đỉnh lấy được là 3 đỉnh của một tam g...
Bài toán 1. Cho đa giác đều $2n$ cạnh. Lấy ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều.
a)
Tính xác suất để 3 đỉnh lấy được là 3 đỉnh của một tam giác vuông.
b) Tính xác suất để 3 đỉnh lấy được là 3 đỉnh của một tam giác vuông không có cạnh nào là cạnh của đa giác đều.
Lời giải:
Số phần tử của không gian mẫu: $C^3_{2n}$
a) Số đường chéo qua tâm của đa giác đều là $n$. Chọn 1 đường chéo qua tâm. Chọn 1 đỉnh trong $2n-2$ đỉnh còn lại. Số tam giác vuông là $n(2n-2)$.
Xác suất cần tính: $P= \frac{n(2n-2)}{C^3_{2n}}$
b) Chọn một đường chéo qua tâm. Có $n$ cách chọn.
Chọn 1 đỉnh trong các đỉnh còn lại, loại trừ 4 đỉnh "lân cận" đường chéo đó (xem hình). Có $2n-2-4=2n-6$ cách.
Số tam giác vuông thoả yêu cầu là $n(2n-6)$.
Xác suất cần tính $P= \frac{n(2n-6)}{C^3_{2n}}$
Bài toán 2. (Kĩ sư tài năng ĐHBK HN 2020). Cho đa giác đều gồm $2n$ đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều đã cho. Biết rằng xác suất để 3 đỉnh được chọn lập thành một tam giác vuông là $3/4039$. Tìm $n$.
Lời giải:
Áp dụng ý a) của bài toán 1 và giả thiết trong bài toán 2 ta có phương trình
$$\dfrac{n(2n-2)}{C^3_{2n}}=\dfrac{3}{4039}$$
Giải phương trình này ta được $n=2020.$
Theo FB MathVn. Người đăng: MiR Math.
