Một câu hỏi nhiều người thắc mắc là " i giai thừa bằng bao nhiêu? " trong đó $i$ là đơn vị ảo của tập số phức $\mathbb{C}.$ Bài nà...
Một câu hỏi nhiều người thắc mắc là "i giai thừa bằng bao nhiêu?" trong đó $i$ là đơn vị ảo của tập số phức $\mathbb{C}.$ Bài này sẽ trả lời câu hỏi i giai thừa là gì và tính i!.
Trong bài viết trước, ta đã biết đến giai thừa của một số phức được định nghĩa qua hàm Gamma như sau:
$$
z!=\Gamma(z+1) = \int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,{\rm {d}}t.$$
Áp dụng với $z=i$, ta có:
$$i!=\Gamma(i+1) = \int _{0}^{\infty }t^{i}e^{-t}\,{\rm {d}}t.$$
Theo tính chất của logarit và công thức Euler trong số phức ta có:
$t^i=e^{\ln t^i}=e^{i\ln t}=\cos(\ln t)+i\sin(\ln t)$
Suy ra
$i!=\displaystyle \int _{0}^{\infty} (\cos(\ln t)+i\sin(\ln t))e^{-t}\,{\rm {d}}t\\ $
$=\displaystyle \int _{0}^{\infty} \cos(\ln t)e^{-t}\,{\rm {d}}t+i\displaystyle \int _{0}^{\infty} \sin(\ln t)e^{-t}\,{\rm {d}}t\\ $
$=A+iB.\\ $
Trong đó:
$A= \displaystyle \int _{0}^{\infty} \cos(\ln t)e^{-t}\,{\rm {d}}t \approx 0.498015668 \\ $
$B= \displaystyle \int _{0}^{\infty} \sin(\ln t)e^{-t}\,{\rm {d}}t \approx -0.154949828\\ $
Vậy $$i! \approx 0.498015668 - 0.154949828 i$$
$$
z!=\Gamma(z+1) = \int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,{\rm {d}}t.$$
Áp dụng với $z=i$, ta có:
$$i!=\Gamma(i+1) = \int _{0}^{\infty }t^{i}e^{-t}\,{\rm {d}}t.$$
Theo tính chất của logarit và công thức Euler trong số phức ta có:
$t^i=e^{\ln t^i}=e^{i\ln t}=\cos(\ln t)+i\sin(\ln t)$
Suy ra
$i!=\displaystyle \int _{0}^{\infty} (\cos(\ln t)+i\sin(\ln t))e^{-t}\,{\rm {d}}t\\ $
$=\displaystyle \int _{0}^{\infty} \cos(\ln t)e^{-t}\,{\rm {d}}t+i\displaystyle \int _{0}^{\infty} \sin(\ln t)e^{-t}\,{\rm {d}}t\\ $
$=A+iB.\\ $
Trong đó:
$A= \displaystyle \int _{0}^{\infty} \cos(\ln t)e^{-t}\,{\rm {d}}t \approx 0.498015668 \\ $
$B= \displaystyle \int _{0}^{\infty} \sin(\ln t)e^{-t}\,{\rm {d}}t \approx -0.154949828\\ $
Vậy $$i! \approx 0.498015668 - 0.154949828 i$$
Theo MathVn FB. Người đăng: MiR Math.
