Trong tập số thực thì ln(-1) vô nghĩa (không xác định) nhưng trong tập số phức thì nó tồn tại theo quy ước dưới đây. Quy ước Hàm biến phứ...
Trong tập số thực thì ln(-1) vô nghĩa (không xác định) nhưng trong tập số phức thì nó tồn tại theo quy ước dưới đây.
Bài này sẽ nêu cách tính ln(-1) và ln(i). Trước hết ta nhắc lại một tính chất cơ bản của hàm $\ln$ và được dùng trong hai ví dụ dưới đây:
$$\ln e^z=z.$$
$-1=e^{i\pi} \Rightarrow \ln(-1)=\ln e^{i\pi}=i\pi.$
Vậy $\ln(-1)=i\pi.$
$$\ln i=\ln e^{i\frac{\pi}{2}}=i\frac{\pi}{2}.$$
Vậy $\ln i=i\frac{\pi}{2}.$
Quy ước
Hàm biến phức $\ln z$ là hàm đa trị nên các kết quả tính ra ở trong bài này người ta gọi là "principal value" (giá trị chính) của $\ln z$, với quy ước phần ảo thuộc nửa khoảng $(-\pi; \pi]$.Bài này sẽ nêu cách tính ln(-1) và ln(i). Trước hết ta nhắc lại một tính chất cơ bản của hàm $\ln$ và được dùng trong hai ví dụ dưới đây:
$$\ln e^z=z.$$
Tính ln(-1)
Theo công thức Euler thu gọn (xem lại ở đây), ta có$-1=e^{i\pi} \Rightarrow \ln(-1)=\ln e^{i\pi}=i\pi.$
Vậy $\ln(-1)=i\pi.$
Tính ln(i)
Từ công thức Euler tổng quát, ta suy ra $i=e^{i\frac{\pi}{2}}.$(xem chứng minh đẳng thức trên ở link này).
Do đó:$$\ln i=\ln e^{i\frac{\pi}{2}}=i\frac{\pi}{2}.$$
Vậy $\ln i=i\frac{\pi}{2}.$
