Năm 1656, nhà toán học John Wallis (1616-1703) đã đưa ra công thức rất đẹp có liên quan đến giá trị của số π (còn gọi là tích Wallis cho số ...
Năm 1656, nhà toán học John Wallis (1616-1703) đã đưa ra công thức rất đẹp có liên quan đến giá trị của số π (còn gọi là tích Wallis cho số pi) như sau:
Bài viết này sẽ nêu một chứng minh của công thức Wallis bằng cách sử dụng tích phân (một dạng của tích phân Wallis).
Với mỗi số tự nhiên $n$, xét tích phân $I(n)=\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sin^n x dx.$
Dễ thấy $$I(0)=\pi, \ I(1)=2.$$
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần bằng cách đặt $$u=\sin^{n-1} x, \ dv= \sin x dx$$ ta được:
$I(n)=(n-1)I(n-2)-(n-1)I(n) \Rightarrow I(n)=\dfrac{n-1}{n}I(n-2) \ \ (*)$
Suy ra
$\dfrac{I(n-2)}{I(n)}=\dfrac{n}{n-1} \Rightarrow \dfrac{I(2n-1)}{I(2n+1)}=\dfrac{2n+1}{2n} $
Mặt khác, áp dụng $(*)$ nhiều lần ta được:
$I(2n)=\dfrac{2n-1}{2n}I(2n-2)=\dfrac{2n-1}{2n}\cdot\dfrac{2n-3}{2n-2}I(2n-4)$
$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{2n-1}{2n}\cdot\dfrac{2n-3}{2n-2} \cdot \cdots \cdot \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{2}I(0)=\pi \displaystyle \prod _{k=1}^{n}\dfrac {2k-1}{2k}$
Tương tự
$I(2n+1)={\dfrac {2n}{2n+1}}\cdot {\dfrac {2n-2}{2n-1}}\cdot {\dfrac {2n-4}{2n-3}}\cdot \cdots \cdot {\dfrac {6}{7}}\cdot {\dfrac {4}{5}}\cdot {\dfrac {2}{3}}I(1)=2\displaystyle \prod _{k=1}^{n}{\dfrac {2k}{2k+1}}$
Ngoài ra, do
$\sin ^{2n+1}x\leq \sin ^{2n}x\leq \sin ^{2n-1}x, \ \ \ 0\leq x\leq \pi $
nên suy ra
$I(2n+1)\leq I(2n)\leq I(2n-1) \Rightarrow 1\leq {\dfrac {I(2n)}{I(2n+1)}}\leq {\dfrac {I(2n-1)}{I(2n+1)}}={\dfrac {2n+1}{2n}}$
Theo định lí kẹp (giới hạn) ta có:
$1=\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\dfrac {I(2n)}{I(2n+1)}}={\dfrac {\pi }{2}}\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\cdot {\dfrac {2k+1}{2k}}\right)$
Từ đây suy ra
${\dfrac {\pi }{2}}=\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }\left({\dfrac {2k}{2k-1}}\cdot {\dfrac {2k}{2k+1}}\right)={\dfrac {2}{1}}\cdot {\dfrac {2}{3}}\cdot {\dfrac {4}{3}}\cdot {\dfrac {4}{5}}\cdot {\dfrac {6}{5}}\cdot {\dfrac {6}{7}}\cdot \cdots $
Vậy công thức Wallis được chứng minh.
Chứng minh công thức Wallis
Với mỗi số tự nhiên $n$, xét tích phân $I(n)=\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sin^n x dx.$
Dễ thấy $$I(0)=\pi, \ I(1)=2.$$
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần bằng cách đặt $$u=\sin^{n-1} x, \ dv= \sin x dx$$ ta được:
$I(n)=(n-1)I(n-2)-(n-1)I(n) \Rightarrow I(n)=\dfrac{n-1}{n}I(n-2) \ \ (*)$
Suy ra
$\dfrac{I(n-2)}{I(n)}=\dfrac{n}{n-1} \Rightarrow \dfrac{I(2n-1)}{I(2n+1)}=\dfrac{2n+1}{2n} $
Mặt khác, áp dụng $(*)$ nhiều lần ta được:
$I(2n)=\dfrac{2n-1}{2n}I(2n-2)=\dfrac{2n-1}{2n}\cdot\dfrac{2n-3}{2n-2}I(2n-4)$
$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{2n-1}{2n}\cdot\dfrac{2n-3}{2n-2} \cdot \cdots \cdot \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{2}I(0)=\pi \displaystyle \prod _{k=1}^{n}\dfrac {2k-1}{2k}$
Tương tự
$I(2n+1)={\dfrac {2n}{2n+1}}\cdot {\dfrac {2n-2}{2n-1}}\cdot {\dfrac {2n-4}{2n-3}}\cdot \cdots \cdot {\dfrac {6}{7}}\cdot {\dfrac {4}{5}}\cdot {\dfrac {2}{3}}I(1)=2\displaystyle \prod _{k=1}^{n}{\dfrac {2k}{2k+1}}$
Ngoài ra, do
$\sin ^{2n+1}x\leq \sin ^{2n}x\leq \sin ^{2n-1}x, \ \ \ 0\leq x\leq \pi $
nên suy ra
$I(2n+1)\leq I(2n)\leq I(2n-1) \Rightarrow 1\leq {\dfrac {I(2n)}{I(2n+1)}}\leq {\dfrac {I(2n-1)}{I(2n+1)}}={\dfrac {2n+1}{2n}}$
Theo định lí kẹp (giới hạn) ta có:
$1=\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\dfrac {I(2n)}{I(2n+1)}}={\dfrac {\pi }{2}}\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\cdot {\dfrac {2k+1}{2k}}\right)$
Từ đây suy ra
${\dfrac {\pi }{2}}=\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }\left({\dfrac {2k}{2k-1}}\cdot {\dfrac {2k}{2k+1}}\right)={\dfrac {2}{1}}\cdot {\dfrac {2}{3}}\cdot {\dfrac {4}{3}}\cdot {\dfrac {4}{5}}\cdot {\dfrac {6}{5}}\cdot {\dfrac {6}{7}}\cdot \cdots $
Vậy công thức Wallis được chứng minh.
Người đăng: MiR Math.
