Công thức Viete liên quan đến số π

Nhà toán học François Viète (1540–1603) đã tìm ra công thức dưới đây vào năm 1593 trong tác phẩm " Variorum de rebus mathematicis respo...

Nhà toán học François Viète (1540–1603) đã tìm ra công thức dưới đây vào năm 1593 trong tác phẩm "Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VII", trước khi Euler được sinh ra hơn 100 năm (1727):

Tuy nhiên, trong bài này ta sẽ lội ngược dòng lịch sử để chứng minh công thức trên. 

1. Công thức Euler với hàm lượng giác

Trong một bài báo của mình, Euler đã chỉ ra rằng đẳng thức sau đúng với mọi số thực $x$ khác $0$. 

Chứng minh của Euler xuất phát từ công thức nhân đôi góc lượng giác:

Áp dụng $n$ lần công thức nhân đôi ta được

Euler nhận thấy

Nên qua giới hạn hai vế, rồi chia hai vế cho $x \ne 0$, ta được công thức ở đầu mục 1 (công thức Euler).

2. Chứng minh công thức Viete

Áp dụng công thức Euler cho $x=\pi/2$ ta được

Bằng cách tính các giá trị lượng giác (cosin) ở vế phải ta được ngay công thức Viete ở đầu bài.

 

Người đăng: MiR Math.