Bài viết này sẽ tính đạo hàm của hàm số lượng giác ngược y=arctanx. Bài toán. Tính đạo hàm của hàm số $y=\arctan x.$ Lời giải: Từ $y=\a...
Bài viết này sẽ tính đạo hàm của hàm số lượng giác ngược y=arctanx.
Bài toán. Tính đạo hàm của hàm số $y=\arctan x.$
Lời giải:
Từ $y=\arctan x$ và định nghĩa hàm $\arctan$ ta có $$\tan y=x.$$
Lấy đạo hàm theo biến $x$ ta được:
$$\frac{d}{dx}(\tan y)=\frac{d}{dx}(x)$$ $$\Rightarrow (\tan^2 y +1) \frac{dy}{dx}=1$$ $$\Rightarrow (x^2+1)\frac{dy}{dx}=1$$ $$\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x^2+1}$$ Vậy đạo hàm của hàm số $y=\arctan x$ là:
$$y'=\frac{1}{x^2+1}, \forall x \in \mathbb{R}.$$
Hệ quả. Từ bài toán trên, ta có hai công thức được dùng nhiều khi giải toán nguyên hàm tích phân.
1) $\displaystyle\int \dfrac{dx}{x^2+1}=\arctan x+C$
2) $\displaystyle\int\limits_0^x \dfrac{dt}{t^2+1}=\arctan x.$
Tương tự. Hoàn toàn tương tự như trên, ta tính được đạo hàm của hàm $y=\text{arccot } x$: $$(\text{arccot } x)'=-\frac{1}{x^2+1}, \forall x \in \mathbb{R}.$$
Bài toán. Tính đạo hàm của hàm số $y=\arctan x.$
Từ $y=\arctan x$ và định nghĩa hàm $\arctan$ ta có $$\tan y=x.$$
Lấy đạo hàm theo biến $x$ ta được:
$$\frac{d}{dx}(\tan y)=\frac{d}{dx}(x)$$ $$\Rightarrow (\tan^2 y +1) \frac{dy}{dx}=1$$ $$\Rightarrow (x^2+1)\frac{dy}{dx}=1$$ $$\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x^2+1}$$ Vậy đạo hàm của hàm số $y=\arctan x$ là:
$$y'=\frac{1}{x^2+1}, \forall x \in \mathbb{R}.$$
Hệ quả. Từ bài toán trên, ta có hai công thức được dùng nhiều khi giải toán nguyên hàm tích phân.
1) $\displaystyle\int \dfrac{dx}{x^2+1}=\arctan x+C$
2) $\displaystyle\int\limits_0^x \dfrac{dt}{t^2+1}=\arctan x.$
Tương tự. Hoàn toàn tương tự như trên, ta tính được đạo hàm của hàm $y=\text{arccot } x$: $$(\text{arccot } x)'=-\frac{1}{x^2+1}, \forall x \in \mathbb{R}.$$
Theo MathVn FB. Người đăng: MiR Math.
