i mũ i bằng mấy? i^i=?

Với $i$ là đơn vị ảo thì $i^i$ bằng mấy? Phép tính nhìn có vẻ đơn giản nhưng để tính nó thì phải dùng tới những "con dao" lớn - kh...

Với $i$ là đơn vị ảo thì $i^i$ bằng mấy? Phép tính nhìn có vẻ đơn giản nhưng để tính nó thì phải dùng tới những "con dao" lớn - khá "nặng" so với trình độ của hầu hết học sinh phổ thông không chuyên ở Việt Nam.

1. Công thức Euler

Trong lý thuyết số phức, công thức Euler được xem là công thức đẹp nhất và quan trọng nhất.

Nó có dạng như sau:
$$e^{ix}=\cos x + i \sin x$$
Khi Euler tìm ra công thức này thì ông chỉ khẳng định nó đúng với mọi số thực $x$. Sau này người ta đã chứng minh được nó vẫn đúng khi $x$ là một số phức bất kì.

Chẳng hạn, với $x=\pi$, ta có:
$$e^{i\pi}=\cos \pi + i \sin \pi=-1.$$
Đây chính là công thức Euler thu gọn và nổi tiếng nhất.
Tương tự:
$$e^{i\frac{\pi}{2}}=\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}=i \ \ \ (*)$$
Đẳng thức này sẽ được dùng trong việc tính $i^i.$

2. Tính $i^i$

Cách 1.
Dùng các tính chất của logarit, ta có:
$$i^i=e^{\ln i^i}=e^{i\ln i}=e^{i \ln e^{i \frac{\pi}{2}}} \ \ \ (\text{theo (*)})$$
$$=e^{i.i \frac{\pi}{2}}=e^{-\frac{\pi}{2}}.$$
Cách 2.
Cũng từ (*) ta có:
$$i^i=(e^{i\frac{\pi}{2}})^i=e^{i.i \frac{\pi}{2}}=e^{-\frac{\pi}{2}}.$$
Vậy
$$i^i=e^{-\frac{\pi}{2}} \approx 0.20787957635.$$

Người đăng: Sơn Phan.