Trong số phức, công thức Euler (được xây dựng bởi nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler), là công thức chỉ ra mối liên hệ giữa hàm số lư...
Trong số phức, công thức Euler (được xây dựng bởi nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler), là công thức chỉ ra mối liên hệ giữa hàm số lượng giác và hàm số mũ phức. Nó được xem là công thức đẹp nhất và quan trọng nhất của lý thuyết số phức. 
Bài viết này sẽ nêu một chứng minh cho công thức Euler (Ơ-le).
1. Công thức Euler trong số phức
Với mọi số thực $x$, ta có:
$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$
Trong đó $i$ là đơn vị ảo ($i^2=-1 \ \ \ \ $), còn hằng số $e$ đã nêu ở bài trước.
2. Chứng minh công thức Euler
Có nhiều cách để chứng minh công thức Euler, trong đó cách được trình bày nhiều trong các giáo trình đại học là sử dụng chuỗi Taylor. Ở bài này sẽ nêu một chứng minh sơ cấp hơn: dùng đạo hàm.
Xét hàm số $f(x)=e^{-i x}.(\cos x+i\sin x), \ \ \ x \in \mathbb{R}.$
Ta có:
$$f'(x)=-ie^{-i x}.(\cos x+i\sin x)+e^{-i x}.(-\sin x+i\cos x)$$
$$=e^{-i x}.(-i\cos x-i^2\sin x-\sin x+i\cos x)$$
$$=e^{-i x}.(-i\cos x+\sin x-\sin x+i\cos x)=0, \ \ \forall x \in \mathbb{R}.$$
Suy ra $f$ là hàm hằng. Do đó:
$$f(x)=f(0)=e^{-i 0}.(\cos 0+i\sin 0)=1, \ \ \forall x \in \mathbb{R}.$$
Như vậy:
$$e^{-i x}.(\cos x+i\sin x)=1, \ \ \forall x \in \mathbb{R}.$$
$$\text{hay}\ \ \ e^{ix}=\cos x+i\sin x, \ \ \forall x \in \mathbb{R}.$$
Công thức Euler được chứng minh.
3. Đẳng thức Euler thu gọn
Khi $x=\pi$, ta có:
$$e^{i\pi}=-1$$
Đây chính là đẳng thức Euler nổi tiếng nhất.
Người đăng: Sơn Phan.
