Các quy tắc suy luận toán học cơ bản

Toán học dựa trên một số khái niệm và tiên đề được thừa nhận rồi suy diễn ra những điều khác theo các quy tắc suy luận. Điều này khiến cho c...

Toán học dựa trên một số khái niệm và tiên đề được thừa nhận rồi suy diễn ra những điều khác theo các quy tắc suy luận. Điều này khiến cho các lý luận và kết quả trong toán học có tính chặt chẽ và chính xác cao.

Bài này sẽ đăng các quy tắc suy luận toán học (suy luận logic) thường dùng nhất.

1. Nguyên lí bài trung

Một mệnh đề toán học chỉ có một trong hai giá trị đúng hoặc sai. Vì thế toán học không chấp nhận mâu thuẫn (vừa A vừa không A). Một mệnh đề dẫn tới một mâu thuẫn thì mệnh đề đó là sai.

Trong các mục tiếp theo, để đơn giản trong việc gõ các kí hiệu toán, ta kí hiệu ¬A là mệnh đề phủ định của A (đọc là "không A", các sách cũ vẫn dùng kí hiệu này).

2. Phủ định mệnh đề hợp

Với hai mệnh đề A và B ta tạo thành mệnh đề mới A ∨ B, được đọc là “A hay B”, với hàm nghĩa rằng có ít nhất một trong hai điều A hay B xảy ra.
Phủ định của A ∨ B là ¬A ∧ ¬B, được đọc là “không A và không B”, với hàm nghĩa rằng không có điều nào trong A và B xảy ra cả.

3. Phủ định mệnh đề giao

Với hai mệnh đề A và B ta tạo thành mệnh đề mới A ∧ B được đọc là “A và B” với hàm nghĩa rằng cả hai điều A và B cùng xảy ra.
Phủ định của A ∧ B là ¬A ∨ ¬B, được đọc là "không A hay không B”, với hàm nghĩa rằng ít nhất một hai điều A hay B sẽ không xảy ra.

4. Phủ định sự tồn tại

Giả sử mỗi phần tử x thuộc tập D được liên kết với một mệnh đề T(x). Ta lập một dạng mệnh đề mới ∃ ∈ D, T(x), được đọc là “có ít nhất một phần tử x thuộc D mang tính chất T(x)”. Phủ định của ∃ ∈ D, T(x) là ∀x ∈ D, ¬T(x), với hàm nghĩa rằng tất cả phần tử x thuộc D đều không có tính chất T(x).

5. Phủ định sự tổng quát

Giả sử mỗi phần tử x thuộc tập D được liên kết với một mệnh đề T(x). Ta lập một dạng mệnh đề mới ∀ ∈ D, T(x), được đọc là “tất cả phần tử x thuộc D đều mang tính chất T(x)”. Phủ định của ∀ ∈ D, T(x) là ∃x ∈ D, ¬T(x), với hàm nghĩa rằng có ít nhất một phần tử x thuộc D không có tính chất T(x).

6. Phủ định mệnh đề kéo theo

Với hai mệnh đề A và B ta tạo mệnh đề mới A ⇒ B được đọc là “A kéo theo B”, hay “A suy ra B”, với hàm nghĩa là hễ có A thì phải có B.

Bảng chân trị của mệnh đề kéo theo. Trong đó 0 là sai, 1 là đúng.

Mệnh đề A ⇒ B chỉ sai khi A đúng và B sai. Từ bảng chân trị ở trên, ta thấy mệnh đề A ⇒ B tương đương với mệnh đề ¬A ∨ B.

Từ đó ta có phủ định của A ⇒ B là A ∧ ¬B, với hàm nghĩa là có A mà vẫn không có B.

Phủ định của mệnh đề kéo theo với kí hiệu thường dùng hiện nay. Ở đây "B có gạch ngang trên đầu" chính là ¬B (không B)

7. Phép phản chứng

Lưu ý rằng mệnh đề A ⇒ B không cùng tính đúng sai so với mệnh đề đảo của nó, tức là B ⇒ A.
Mà mệnh đề A ⇒ B có cùng nghĩa với mệnh đề phản đảo của nó, tức là dạng ¬B ⇒ ¬A (nếu không có B thì cũng không có A).

Khi người ta cho giả thiết A và yêu cầu chứng minh điều B, ta có thể đi chứng minh điều tương đương là mệnh đề phản đảo, rằng phủ định của B sẽ dẫn tới phủ định của A.

Việc này thường được tiến hành như sau:
Ta có thể giả sử phản chứng rằng không có điều B (giả sử ¬B) rồi suy luận dẫn đến không có điều A (tức là ¬A) vì nếu có A sẽ tạo ra mâu thuẫn, trái với giả thiết. Vậy kết luận phải có điều B. Phép suy luận như trên được gọi là phép phản chứng.

Người đăng: MiR Math.