Bài toán xác suất : Cho đa giác đều 18 cạnh (18-giác đều). Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 đỉnh của đa giác đó. Tính xác suất để 3 đỉnh đó tạo th...
Bài toán xác suất: Cho đa giác đều 18 cạnh (18-giác đều). Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 đỉnh của đa giác đó. Tính xác suất để 3 đỉnh đó tạo thành một tam giác cân.
Lời giải:
Sợ phần tử của không gian mẫu $\Omega$:
$n(\Omega)=C_{18}^3=816.$
Gọi $\tau$ là biến cố "ba đỉnh được chọn tạo thành tam giác cân".
Ứng với mỗi đỉnh của đa giác, có 8 cách chọn hai đỉnh còn lại để tạo ra tam giác cân (chẳng hạn với A thì 8 tam giác cân là ABR, ACQ, ADP, AEO, AFN, AGU (đều), AHL, AIK).
Đa giác có 18 đỉnh nên có 8x18 tam giác cân theo cách đếm này. Trong đó chỉ có 6 tam giác đều nhưng mỗi tam giác đều lại bị đếm tới 3 lần.
Vì vậy số tam giác cân là
$n(\tau)=8.18-6.2=132.$
Xác suất cần tính là:
$P(\tau)=\dfrac{n(\tau)}{n(\Omega)}=\dfrac{132}{816}=\dfrac{11}{68}.$
Bài toán tổng quát: Cho đa giác đều $6n$ cạnh ($6n$-giác đều). Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 đỉnh của đa giác đó. Tính xác suất để 3 đỉnh đó tạo thành một tam giác cân.
Đáp số: $(18n^2-10n)/C_{6n}^3.$
Sợ phần tử của không gian mẫu $\Omega$:
$n(\Omega)=C_{18}^3=816.$
Gọi $\tau$ là biến cố "ba đỉnh được chọn tạo thành tam giác cân".
Ứng với mỗi đỉnh của đa giác, có 8 cách chọn hai đỉnh còn lại để tạo ra tam giác cân (chẳng hạn với A thì 8 tam giác cân là ABR, ACQ, ADP, AEO, AFN, AGU (đều), AHL, AIK).
Đa giác có 18 đỉnh nên có 8x18 tam giác cân theo cách đếm này. Trong đó chỉ có 6 tam giác đều nhưng mỗi tam giác đều lại bị đếm tới 3 lần.
Vì vậy số tam giác cân là
$n(\tau)=8.18-6.2=132.$
Xác suất cần tính là:
$P(\tau)=\dfrac{n(\tau)}{n(\Omega)}=\dfrac{132}{816}=\dfrac{11}{68}.$
Theo Diễn đàn Toán. Người đăng: MiR Math.
Bài toán tổng quát: Cho đa giác đều $6n$ cạnh ($6n$-giác đều). Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 đỉnh của đa giác đó. Tính xác suất để 3 đỉnh đó tạo thành một tam giác cân.
Đáp số: $(18n^2-10n)/C_{6n}^3.$
