0,5 giai thừa là gì?

Ta đã biết, $5!=1.2.3.4.5=120$. Vậy " 0,5 giai thừa " là gì? và $(0,5)!$ bằng mấy?  Để định nghĩa được $(0,5)!$, ta bắt đầu từ hàm...

Ta đã biết, $5!=1.2.3.4.5=120$. Vậy "0,5 giai thừa" là gì? và $(0,5)!$ bằng mấy? 

Để định nghĩa được $(0,5)!$, ta bắt đầu từ hàm Gamma.

1. Hàm Gamma

Là hàm số mang tên chữ cái Hy Lạp thứ 3 (Gamma, viết hoa) do nhà toán học Pháp, Adrien-Marie Legendre đề ra. Hàm số này được định nghĩa thông qua một tích phân suy rộng: $$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,{\rm {d}}t$$ Dùng phương pháp tích phân từng phần ta có: $$\Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z) \ \ (*)$$

Đồ thị hàm giai thừa

Một số công thức liên quan hàm Gamma:

a. Công thức Euler: 

$$\Gamma (z)\ \Gamma (1-z)\ ={\frac {\pi }{\sin({\pi }z)}}$$

Cho $z=\frac{1}{2} \ \ $ thì ta tính được $\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}.$ 

b. Công thức Gauss:

Với mọi số nguyên dương $n$ ta có:

$\Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }} \\ $ $\Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}$

2. Định nghĩa giai thừa của số thực

Đẳng thức (*) gần giống với phép giai thừa của số tự nhiên. Do đó người ta định nghĩa giai thừa của số thực như sau: $$z!=\Gamma(z+1) = \int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,{\rm {d}}t.$$

với $z$ là số thực bất kì.

(Định nghĩa này có thể mở rộng lên tập số phức, tức $z \in \mathbb{C}.$)

Tất nhiên, định nghĩa này phải "tương thích" với phép giai thừa của số tự nhiên mà ta đã biết. Tức là, khi $z$ là một số tự nhiên thì công thức trên phải trở về giai thừa quen thuộc. Chẳng hạn, bằng cách tích phân từng phần, ta tính được:

$1!=\int_0^\infty t e^{-t} dt = e^{-t} (-t - 1) |_0^\infty = 1 $

Tương tự:

3. Ví dụ về giai thừa số thực

Ở đây, ta chỉ lấy một số ví dụ cho kết quả "đẹp".

$(-0,5)!=\Gamma(-0,5+1)=\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}.$

Dùng các công thức Gauss, ta tính được. 

$(0,5)!=\Gamma(0,5+1)=\frac{2!}{4^{1}1!}\sqrt {\pi }=\frac{\sqrt {\pi }}{2}. $ 

(Đây rồi, 0,5 giai thừa đây rồi!!! )

$(3,5)!={8! \over 4^{4}4!}{\sqrt {\pi }}={105 \over 16}{\sqrt {\pi }}.$ 

$(-3,5)!={(-4)^{3}3! \over 6!}{\sqrt {\pi }}=-{8 \over 15}{\sqrt {\pi }}.$

 

Tổng hợp: Tố Uyên Trần.

Xem thêm: Giai thừa!, giai thừa kép!! và siêu giai thừa