Công thức nhân 5 trong lượng giác là một công thức đẹp, có sự tương đồng giữa công thức tính sin(5x) và cos(5x). Công thức nhân năm Với m...
Công thức nhân 5 trong lượng giác là một công thức đẹp, có sự tương đồng giữa công thức tính sin(5x) và cos(5x).
Cách 2. Không làm riêng rẽ như cách 1, ở cách 2 này chúng tôi sẽ chứng minh đồng thời 2 công thức trên bằng kiến thức của số phức.
Theo công thức Moivre, ta có
$\cos5x+i\sin5x=(\cos x+ i\sin x)^5$
$=\cos^5x+5i\cos^4x\sin x+10i^2\cos^3x\sin^2x+10i^3\cos^2x\sin^3x+5i^4\cos x\sin^4x+i^5\sin^5x $
$ = \cos^5x−10\cos^3x\sin^2x+5\cos x\sin^4x+i(\sin^5x−10\cos^2x\sin^3x+5\cos^4x\sin x)$
Suy ra
$\cos5x=\cos^5x−10\cos^3x\sin^2x+5\cos x\sin^4x $
$ = \cos^5x−10\cos^3x(1-\cos^2x)+5\cos x(1-\cos^2x)^2 $
$ = 16\cos^{5}x-20\cos^{3}x+5\cos x$
và
$\sin5x=\sin^5x−10\cos^2x\sin^3x+5\cos^4x\sin x $
$ = \sin^5x−10(1-\sin^2x)\sin^3x+5(1-\sin^2x)^2\sin x $
$ = 16\sin^{5}x-20\sin^{3}x+5\sin x$
Như vậy ta đã chứng minh được cả 2 công thức cùng một lúc.
Lưu ý: Nếu công thức Toán bị tràn thì hãy xoay ngang màn hình điện thoại.
Công thức nhân năm
Với mọi $x \in \mathbb{R}$ ta có: $$\sin5x=16\sin^{5}x-20\sin^{3}x+5\sin x$$ $$\cos5x=16\cos^{5}x-20\cos^{3}x+5\cos x$$Chứng minh công thức nhân 5
Cách 1. Cách phổ thông nhất là viết $5x=3x+2x$ sau đó dùng công thức cộng lượng giác, công thức nhân đôi, công thức nhân ba để khai triển. Chi tiết dành cho bạn đọc.Cách 2. Không làm riêng rẽ như cách 1, ở cách 2 này chúng tôi sẽ chứng minh đồng thời 2 công thức trên bằng kiến thức của số phức.
Theo công thức Moivre, ta có
$\cos5x+i\sin5x=(\cos x+ i\sin x)^5$
$=\cos^5x+5i\cos^4x\sin x+10i^2\cos^3x\sin^2x+10i^3\cos^2x\sin^3x+5i^4\cos x\sin^4x+i^5\sin^5x $
$ = \cos^5x−10\cos^3x\sin^2x+5\cos x\sin^4x+i(\sin^5x−10\cos^2x\sin^3x+5\cos^4x\sin x)$
Suy ra
$\cos5x=\cos^5x−10\cos^3x\sin^2x+5\cos x\sin^4x $
$ = \cos^5x−10\cos^3x(1-\cos^2x)+5\cos x(1-\cos^2x)^2 $
$ = 16\cos^{5}x-20\cos^{3}x+5\cos x$
và
$\sin5x=\sin^5x−10\cos^2x\sin^3x+5\cos^4x\sin x $
$ = \sin^5x−10(1-\sin^2x)\sin^3x+5(1-\sin^2x)^2\sin x $
$ = 16\sin^{5}x-20\sin^{3}x+5\sin x$
Như vậy ta đã chứng minh được cả 2 công thức cùng một lúc.
Lưu ý: Nếu công thức Toán bị tràn thì hãy xoay ngang màn hình điện thoại.
Theo MathVN. Người đăng: Sơn Phan.