Trong bài viết trước, ta đã biết cách tính số ước số của một số tự nhiên . Bài viết này sẽ hình thành công thức tính tổng tất cả ước số tự n...
Trong bài viết trước, ta đã biết cách tính số ước số của một số tự nhiên. Bài viết này sẽ hình thành công thức tính tổng tất cả ước số tự nhiên của một số nguyên dương cho trước.
Với các số nhỏ thì việc tính tổng các ước khá đơn giản. Ta sẽ bắt đầu từ ví dụ sau:
Giải
Các ước nguyên dương của $24$ là: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.$
Tổng của chúng là $\sigma(24)=1+2+3+4+6+8+12+24=60.$
Nhận xét. Để ý rằng $24=2^3.3 \ \ \ \ $ nên các ước nguyên dương của $24$ có thể viết dưới dạng: $$1, 2^1, 2^2, 2^3, 3, 2.3, 2^2.3, 2^3.3.$$
Tổng của chúng là $$\sigma(24)=1+2^1+2^2+2^3+3(1+2+2^2+2^3)=(1+2^1+2^2+2^3)(1+3) \\ = (2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1). $$
$$n=p_1^{m_1}.p_2^{m_2}...p_k^{m_k}$$
thì tổng các ước nguyên dương của $n$ là
$$\sigma (n)= (p_1^{0}+p_1^{1}+...+p_1^{m_1})(p_2^{0}+p_2^{1}+...+p_2^{m_2})(p_k^{0}+p_k^{1}+...+p_k^{m_k}) \ \ (*)$$
hay
$$\sigma (n)=\prod\limits_{i=1}^{k}(\frac{p_{i}^{m_{i}+1}-1}{p_{i}-1}) \ \ \ (**)$$
Xem chứng minh định lí này.
Giải
Ta có: $200=2^3.5^2$.
+ Áp dụng công thức (*), tổng các ước nguyên dương của $200$ là:
$\sigma(200)=(2^{0}+2^{1}+2^2+2^3)(5^{0}+5^{1}+5^{2})=465.$
+ Còn nếu áp dụng công thức (**) thì
$\sigma(200)=\frac{2^4-1}{2-1}.\frac{5^3-1}{5-1}=465.$
Ví dụ 3. Tính tổng các ước nguyên dương của số $12345678$.
Giải.
Ta có: $12345678=2.3^2.47.14593$.
Tổng các ước số tự nhiên của $12345678$ là:
$\sigma(12345678)=(1+2)(1+3+3^2)(1+47)(1+14593)=27319968.$
Ví dụ 4. Tính tổng các ước nguyên dương của $n=1520540658$.
Giải
Ta có: $n=1520540658=2.3^2.7^2.13^2.101^2$.
+ Áp dụng công thức (*), tổng các ước nguyên dương của $1520540658$ là:
$\sigma(n)=(2^{0}+2^{1})(3^{0}+3^{1}+3^{2})(7^{0}+7^{1}+7^{2})(13^{0}+13^{1}+13^{2})(101^{0}+101^{1}+101^{2}) \\ =4191353127.$
+ Còn nếu áp dụng công thức (**) thì
$\sigma(n)=\frac{2^2-1}{2-1}.\frac{3^3-1}{3-1}.\frac{13^3-1}{13-1}.\frac{101^3-1}{101-1}=4191353127.$
1. Ví dụ mở đầu
Ví dụ 1. Tính tổng tất cả ước số nguyên dương của số $24$.Giải
Các ước nguyên dương của $24$ là: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.$
Tổng của chúng là $\sigma(24)=1+2+3+4+6+8+12+24=60.$
Nhận xét. Để ý rằng $24=2^3.3 \ \ \ \ $ nên các ước nguyên dương của $24$ có thể viết dưới dạng: $$1, 2^1, 2^2, 2^3, 3, 2.3, 2^2.3, 2^3.3.$$
Tổng của chúng là $$\sigma(24)=1+2^1+2^2+2^3+3(1+2+2^2+2^3)=(1+2^1+2^2+2^3)(1+3) \\ = (2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1). $$
2. Công thức tính tổng các ước số
Định lí. Nếu số nguyên dương $n$ được phân tích thành thừa số nguyên tố:$$n=p_1^{m_1}.p_2^{m_2}...p_k^{m_k}$$
thì tổng các ước nguyên dương của $n$ là
$$\sigma (n)= (p_1^{0}+p_1^{1}+...+p_1^{m_1})(p_2^{0}+p_2^{1}+...+p_2^{m_2})(p_k^{0}+p_k^{1}+...+p_k^{m_k}) \ \ (*)$$
hay
$$\sigma (n)=\prod\limits_{i=1}^{k}(\frac{p_{i}^{m_{i}+1}-1}{p_{i}-1}) \ \ \ (**)$$
Xem chứng minh định lí này.
3. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 2. Tính tổng các ước nguyên dương của $200$.Giải
Ta có: $200=2^3.5^2$.
+ Áp dụng công thức (*), tổng các ước nguyên dương của $200$ là:
$\sigma(200)=(2^{0}+2^{1}+2^2+2^3)(5^{0}+5^{1}+5^{2})=465.$
+ Còn nếu áp dụng công thức (**) thì
$\sigma(200)=\frac{2^4-1}{2-1}.\frac{5^3-1}{5-1}=465.$
Ví dụ 3. Tính tổng các ước nguyên dương của số $12345678$.
Giải.
Ta có: $12345678=2.3^2.47.14593$.
Tổng các ước số tự nhiên của $12345678$ là:
$\sigma(12345678)=(1+2)(1+3+3^2)(1+47)(1+14593)=27319968.$
Ví dụ 4. Tính tổng các ước nguyên dương của $n=1520540658$.
Giải
Ta có: $n=1520540658=2.3^2.7^2.13^2.101^2$.
+ Áp dụng công thức (*), tổng các ước nguyên dương của $1520540658$ là:
$\sigma(n)=(2^{0}+2^{1})(3^{0}+3^{1}+3^{2})(7^{0}+7^{1}+7^{2})(13^{0}+13^{1}+13^{2})(101^{0}+101^{1}+101^{2}) \\ =4191353127.$
+ Còn nếu áp dụng công thức (**) thì
$\sigma(n)=\frac{2^2-1}{2-1}.\frac{3^3-1}{3-1}.\frac{13^3-1}{13-1}.\frac{101^3-1}{101-1}=4191353127.$
Theo MathVn. Người đăng: Tố Uyên.
