Bài này sẽ tính tỉ lệ diện tích của hình tròn nội tiếp và hình tròn ngoại tiếp các đa giác đều quen thuộc: tam giác đều, hình vuông, ngũ ...
Bài này sẽ tính tỉ lệ diện tích của hình tròn nội tiếp và hình tròn ngoại tiếp các đa giác đều quen thuộc: tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, lục giác đều.
Gọi $r, R \ $ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp đa giác đều.
Diện tích của các hình tròn tương ứng là: $s=\pi r^2 \ \ \ $ và $S=\pi R^2.$
Tỉ lệ diện tích:
$$\frac{s}{S}=\frac{\pi r^2}{\pi R^2}=(\frac{r}{R})^2.$$
Do đó $\frac{s}{S}=(\frac{r}{R})^2=\frac{1}{4}.$
Do đó $\frac{s}{S}=(\frac{r}{R})^2=\frac{1}{2}.$
Do đó $\frac{s}{S}=(\frac{r}{R})^2=\frac{3+\sqrt{5}}{8}.$
Do đó $\frac{s}{S}=(\frac{r}{R})^2=\frac{3}{4}.$
Từ 4 trường hợp này, ta có thể tổng quát hóa cho đa giác đều bất kì (n cạnh).
$$\frac{s}{S}=(\frac{r}{R})^2=\cos^2 (\frac{180^0}{n}).$$
Gọi $r, R \ $ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp đa giác đều.
Diện tích của các hình tròn tương ứng là: $s=\pi r^2 \ \ \ $ và $S=\pi R^2.$
Tỉ lệ diện tích:
$$\frac{s}{S}=\frac{\pi r^2}{\pi R^2}=(\frac{r}{R})^2.$$
1. Tỉ lệ diện tích hình tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác đều
Ta có $\frac{r}{R}=\cos 60^0=\frac{1}{2}.$Do đó $\frac{s}{S}=(\frac{r}{R})^2=\frac{1}{4}.$
2. Tỉ lệ diện tích hình tròn nội tiếp và ngoại tiếp hình vuông (tứ giác đều)
Ta có $\frac{r}{R}=\cos 45^0=\frac{1}{\sqrt{2}}.$Do đó $\frac{s}{S}=(\frac{r}{R})^2=\frac{1}{2}.$
3. Tỉ lệ diện tích hình tròn nội tiếp và ngoại tiếp ngũ giác đều
Ta có $\frac{r}{R}=\cos 36^0=\frac{1+\sqrt{5}}{4}.$Do đó $\frac{s}{S}=(\frac{r}{R})^2=\frac{3+\sqrt{5}}{8}.$
4. Tỉ lệ diện tích hình tròn nội tiếp và ngoại tiếp lục giác đều
Ta có $\frac{r}{R}=\cos 30^0=\frac{\sqrt{3}}{2}.$Do đó $\frac{s}{S}=(\frac{r}{R})^2=\frac{3}{4}.$
Từ 4 trường hợp này, ta có thể tổng quát hóa cho đa giác đều bất kì (n cạnh).
5. Tỉ lệ diện tích hình tròn nội tiếp và ngoại tiếp $n$-giác đều
Công thức tổng quát:$$\frac{s}{S}=(\frac{r}{R})^2=\cos^2 (\frac{180^0}{n}).$$
Theo MathVn. Người đăng: Tố Uyên Trần.