Công thức tính số ước số nguyên dương của một số tự nhiên

Bài này sẽ hình thành công thức tính số ước số nguyên dương của một số tự nhiên cho trước. Ta xét các ví dụ sau rồi tổng quát hóa. 1. Ví d...

Bài này sẽ hình thành công thức tính số ước số nguyên dương của một số tự nhiên cho trước. Ta xét các ví dụ sau rồi tổng quát hóa.

1. Ví dụ mở đầu

Ví dụ 1. Tìm số ước số nguyên dương của số $234.$

Giải: Phân tích $234$ thành thừa số nguyên tố (bằng thủ công hoặc bằng máy tính cầm tay như hướng dẫn trong ảnh dưới).

Ta được: $234=2.3^2.13.$
Do vậy một ước nguyên dương của $234$ phải có dạng $2^a. \ 3^b. \ 13^c.$
Trong đó $a \in \{0;1\}, b \in \{0;1;2\}, c \in \{0;1\}.$
Theo quy tắc nhân trong tổ hợp, tổng số ước nguyên dương của $234$ là: $2.3.2=12.$

Ví dụ 2. Tìm số ước số nguyên dương của số $70560.$

Giải: Phân tích $70560$ thành thừa số nguyên tố:
$$70560=2^5.3^2.5.7^2.$$
Một ước nguyên dương của $70560$ phải có dạng $2^a. \ 3^b. \ 5^c. \ 7^d.$
Trong đó $a$ có $6$ cách chọn ($a \in \{0;1;2;3;4;5\}$). Tương tự $b$ có $3$ cách chọn; $c$ có $2$ cách chọn; $d$ có $3$ cách chọn.
Vậy $70560$ có tất cả: $6.3.2.3=108$ ước số nguyên dương.

2. Tổng quát hóa

Định lí. Giả sử số tự nhiên $n$ được phân tích thành thừa số nguyên tố:
$$n=p_1^{m_1}.p_2^{m_2}...p_k^{m_k}.$$
Khi đó số ước số nguyên dương của $n$ là $(m_1+1)(m_2+1)...(m_k+1).$

Việc chứng minh định lí này được trình bày tương tự như các ví dụ trên.

3. Ví dụ áp dụng

Ví dụ 3. Tìm số ước tự nhiên của số $202000.$

Giải: Ta có: $202000 = 2^4.5^3.101$
Do đó $202000$ có tất cả $(4+1)(3+1)(1+1)=40$ ước số tự nhiên.

Ví dụ 4. Số $9465779232$ có bao nhiêu ước số nguyên dương? (Đề thi thử trường chuyên Bắc Ninh)

Giải: Ta có $9465779232=2^5.3^6.7^4.13^2.$
Vậy số ước số nguyên dương của $9465779232$ là: $(5+1)(6+1)(4+1)(2+1)=630.$

Theo Math Vn. Người đăng: Tố Uyên.

Xem thêm: Công thức tính tổng các ước nguyên dương của một số.