Trong bài viết công thức tính tổng các ước nguyên dương của một số , ta có dùng định lí về hàm tổng các ước của một số. Bài viết này sẽ chứn...
Trong bài viết công thức tính tổng các ước nguyên dương của một số, ta có dùng định lí về hàm tổng các ước của một số. Bài viết này sẽ chứng minh định lí đó.
$$n=p_1^{m_1}.p_2^{m_2}...p_k^{m_k}$$
thì tổng các ước nguyên dương của $n$ là
$$\sigma (n)=\prod\limits_{i=1}^{k}(\frac{p_{i}^{m_{i}+1}-1}{p_{i}-1})$$
$$p_1^{x_1}. p_2^{x_2} \ldots p_k^{x_k}$$
với $\quad 0\le x_1\le m_1,0\le x_2\le m_2, \,\ldots,0\le x_k\le m_k.$
Từ đó ta có tổng tất cả các ước số nguyên dương của $n$ là:
$$\sigma (n) = \sum\limits_{{x_1} = 0}^{{m_1}} {\sum\limits_{{x_2} = 0}^{{m_2}} { \ldots \sum\limits_{{x_k} = 0}^{{m_k}} {\left( {p_1^{{x_1}}p_2^{{x_2}} \ldots p_k^{{x_k}}} \right)} } } $$
$$= \sum\limits_{{x_1} = 0}^{{m_1}} {p_1^{{x_1}}\sum\limits_{{x_2} = 0}^{{m_2}} {p_2^{{x_2}} \ldots \sum\limits_{{x_k} = 0}^{{m_k}} {p_k^{{x_k}}} } } $$
$$= \left( {\dfrac{{p_1^{{m_1+1}} – 1}}{{{p_1} – 1}}} \right)\left( {\dfrac{{p_2^{{m_2+1}} – 1}}{{{p_2} – 1}}} \right) \ldots \left( {\dfrac{{p_k^{{m_k+1}} – 1}}{{{p_k} – 1}}} \right) $$
Vậy $$\sigma (n)=\prod\limits_{i=1}^{k}(\frac{p_{i}^{m_{i}+1}-1}{p_{i}-1}).$$
Định lí về hàm tổng các ước
Định lí. Nếu số nguyên dương $n$ được phân tích thành thừa số nguyên tố:$$n=p_1^{m_1}.p_2^{m_2}...p_k^{m_k}$$
thì tổng các ước nguyên dương của $n$ là
$$\sigma (n)=\prod\limits_{i=1}^{k}(\frac{p_{i}^{m_{i}+1}-1}{p_{i}-1})$$
Chứng minh định lí hàm tổng ước số
Tất cả những ước số của $n$ đều có dạng$$p_1^{x_1}. p_2^{x_2} \ldots p_k^{x_k}$$
với $\quad 0\le x_1\le m_1,0\le x_2\le m_2, \,\ldots,0\le x_k\le m_k.$
Từ đó ta có tổng tất cả các ước số nguyên dương của $n$ là:
$$\sigma (n) = \sum\limits_{{x_1} = 0}^{{m_1}} {\sum\limits_{{x_2} = 0}^{{m_2}} { \ldots \sum\limits_{{x_k} = 0}^{{m_k}} {\left( {p_1^{{x_1}}p_2^{{x_2}} \ldots p_k^{{x_k}}} \right)} } } $$
$$= \sum\limits_{{x_1} = 0}^{{m_1}} {p_1^{{x_1}}\sum\limits_{{x_2} = 0}^{{m_2}} {p_2^{{x_2}} \ldots \sum\limits_{{x_k} = 0}^{{m_k}} {p_k^{{x_k}}} } } $$
$$= \left( {\dfrac{{p_1^{{m_1+1}} – 1}}{{{p_1} – 1}}} \right)\left( {\dfrac{{p_2^{{m_2+1}} – 1}}{{{p_2} – 1}}} \right) \ldots \left( {\dfrac{{p_k^{{m_k+1}} – 1}}{{{p_k} – 1}}} \right) $$
Vậy $$\sigma (n)=\prod\limits_{i=1}^{k}(\frac{p_{i}^{m_{i}+1}-1}{p_{i}-1}).$$
Theo MathVn. Người đăng: Sơn Phan.
