Bài toán "hai hình tròn" nằm trong đề thi SAT năm 1982 của Hoa Kỳ. Bài toán hai hình tròn được ra dưới dạng trắc nghiệm, và c...
Bài toán "hai hình tròn" nằm trong đề thi SAT năm 1982 của Hoa Kỳ.
Bài toán hai hình tròn được ra dưới dạng trắc nghiệm, và chỉ có 3 trong 300.000 thí sinh dự thi đưa ra được câu trả lời đúng.
Bán kính hình tròn B gấp 3 lần bán kính hình tròn A. Nếu hình A lăn xung quanh hình B, nó phải thực hiện bao nhiêu vòng quay để trở lại điểm xuất phát?
Hầu hết người tham gia đều tính chu vi của hai hình tròn và nhận thấy chu vi hình B gấp 3 lần chu vi hình A. Vì vậy cho ra đáp số là 3 vòng.
Tuy nhiên đáp án đúng không phải là 3 vòng.
Trước hết phải khẳng định đáp án của bài toán này là 4 vòng quay. Ta có thể lập luận theo 2 cách sau. Xem clip minh họa ở dưới để trực quan hơn.
Cách 1. Quãng đường mà hình tròn A lăn được bằng quãng đường di chuyển của tâm hình tròn A.
Tâm I của hình tròn A cách tâm hình tròn B một khoảng bằng 4 lần bán kính của hình tròn A (tương ứng, chu vi của đường tròn mà I vạch nên cũng gấp 4 lần chu vi hình A).
Vì vậy, hình A phải thực hiện 4 vòng quay mới trở lại điểm xuất phát.
Cách 2: Dễ thấy chu vi hình B gấp 3 lần chu vi hình A. Chia đường tròn lớn thành 3 phần bằng nhau bởi 3 điểm M, N, P (hình vẽ), mỗi phần như vậy có độ dài bằng chu vi hình A.
Khi hình A lăn từ M đến N theo chiều kim đồng hồ, bán kính nối tâm hình tròn A với điểm tiếp xúc giữa 2 hình tròn (bán kính màu đen) quét một góc 3600+1200.
Tương tự cho 2 phần còn lại, để hình A trở về điểm xuất phát thì bán kính màu đen quét 1 góc tổng cộng là 3x(3600+1200)=4x3600, tức 4 vòng quay.
Xem thêm clip minh họa dưới đây, để ý góc quay của bán kính màu đen.
Xem thêm: Lời giải Vật lí.
Bán kính hình tròn B gấp n lần bán kính hình tròn A (n là số nguyên dương). Nếu hình A lăn xung quanh hình B, nó phải thực hiện n+1 vòng quay để trở lại điểm xuất phát.
Xem lời giải bài toán tổng quát.
Bài toán hai hình tròn được ra dưới dạng trắc nghiệm, và chỉ có 3 trong 300.000 thí sinh dự thi đưa ra được câu trả lời đúng.
Bài toán hai hình tròn
Bán kính hình tròn B gấp 3 lần bán kính hình tròn A. Nếu hình A lăn xung quanh hình B, nó phải thực hiện bao nhiêu vòng quay để trở lại điểm xuất phát?
 |
| Ảnh: Lê Bách |
Đáp án ngộ nhận
Hầu hết người tham gia đều tính chu vi của hai hình tròn và nhận thấy chu vi hình B gấp 3 lần chu vi hình A. Vì vậy cho ra đáp số là 3 vòng.
Tuy nhiên đáp án đúng không phải là 3 vòng.
Đáp án bài toán hai hình tròn
Trước hết phải khẳng định đáp án của bài toán này là 4 vòng quay. Ta có thể lập luận theo 2 cách sau. Xem clip minh họa ở dưới để trực quan hơn.
Cách 1. Quãng đường mà hình tròn A lăn được bằng quãng đường di chuyển của tâm hình tròn A.
Tâm I của hình tròn A cách tâm hình tròn B một khoảng bằng 4 lần bán kính của hình tròn A (tương ứng, chu vi của đường tròn mà I vạch nên cũng gấp 4 lần chu vi hình A).
Vì vậy, hình A phải thực hiện 4 vòng quay mới trở lại điểm xuất phát.
Cách 2: Dễ thấy chu vi hình B gấp 3 lần chu vi hình A. Chia đường tròn lớn thành 3 phần bằng nhau bởi 3 điểm M, N, P (hình vẽ), mỗi phần như vậy có độ dài bằng chu vi hình A.
Tương tự cho 2 phần còn lại, để hình A trở về điểm xuất phát thì bán kính màu đen quét 1 góc tổng cộng là 3x(3600+1200)=4x3600, tức 4 vòng quay.
Xem thêm clip minh họa dưới đây, để ý góc quay của bán kính màu đen.
Clip minh họa: Hồ Xuân Đức
Xem thêm: Lời giải Vật lí.
Mở rộng bài toán hai hình tròn
Bán kính hình tròn B gấp n lần bán kính hình tròn A (n là số nguyên dương). Nếu hình A lăn xung quanh hình B, nó phải thực hiện n+1 vòng quay để trở lại điểm xuất phát.
Xem lời giải bài toán tổng quát.
Theo MYD. Người đăng: Tố Uyên.
