Bài toán tìm số mảnh ghép (miếng da) của quả bóng đá là một bài toán khó bởi có rất ít dữ kiện. Bài này với các biến thể đã xuất hiện trong ...
Bài toán tìm số mảnh ghép (miếng da) của quả bóng đá là một bài toán khó bởi có rất ít dữ kiện. Bài này với các biến thể đã xuất hiện trong các đề thi Olympic Toán, đề thi giải toán bằng máy tính cầm tay.
Gọi P là số ngũ giác, H là số lục giác, V là số đỉnh, S là số cạnh.
Ta thấy góc ở mỗi đỉnh của lục giác bằng 120 độ; còn góc ở mỗi đỉnh của ngũ giác bằng 108 độ; cho nên ở mỗi đỉnh sẽ có 3 đa giác kết nối với nhau, hơn nữa phải là 1 ngũ giác kết nối với 2 lục giác. Mỗi cạnh sẽ là cạnh của đúng hai đa giác. Do đó ta có các phương trình sau:
Tính số lượt đỉnh: 5P + 6H = 3V.
Tính số lượt cạnh: 5P + 6H = 2S.
Một đỉnh có 1 ngũ giác kết nối và 2 lục giác: 5Px2 = 6H; tức là 5P = 3H. Ngoài ra, theo công thức Euler thì V - S + (P + H) = 2.
Từ đây ta dễ dàng tính được P = 12; H = 20; V = 60; S = 90.
Vậy có 12 miếng da hình ngũ giác và 20 miếng da hình lục giác trên quả bóng đá.
Đề bài toán số mảnh ghép của quả bóng đá
Hình vẽ dưới đây là một quả bóng đá được làm từ các miếng da. Mỗi miếng da màu đen là một ngũ giác đều và mỗi miếng màu trắng là một lục giác đều. Hãy cho biết có tất cả bao nhiêu miếng da ngũ giác và bao nhiêu miếng da lục giác?
Lời giải bài toán tìm số mảnh ghép quả bóng đá
Ta thấy góc ở mỗi đỉnh của lục giác bằng 120 độ; còn góc ở mỗi đỉnh của ngũ giác bằng 108 độ; cho nên ở mỗi đỉnh sẽ có 3 đa giác kết nối với nhau, hơn nữa phải là 1 ngũ giác kết nối với 2 lục giác. Mỗi cạnh sẽ là cạnh của đúng hai đa giác. Do đó ta có các phương trình sau:
Tính số lượt đỉnh: 5P + 6H = 3V.
Tính số lượt cạnh: 5P + 6H = 2S.
Một đỉnh có 1 ngũ giác kết nối và 2 lục giác: 5Px2 = 6H; tức là 5P = 3H. Ngoài ra, theo công thức Euler thì V - S + (P + H) = 2.
Từ đây ta dễ dàng tính được P = 12; H = 20; V = 60; S = 90.
Vậy có 12 miếng da hình ngũ giác và 20 miếng da hình lục giác trên quả bóng đá.
Theo TS Trần Nam Dũng. Người đăng: Tố Uyên.
