Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán của Sở GD-ĐT tỉnh Quảng Bình năm 2019 có nhiều câu logarit , trong đó có 3 bất đẳng thức logarit tương đố...
Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán của Sở GD-ĐT tỉnh Quảng Bình năm 2019 có nhiều câu logarit, trong đó có 3 bất đẳng thức logarit tương đối đẹp. Bài viết này giới thiệu đề bài và lời giải 3 câu bất đẳng thức lô-ga-rit này.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n>1, ta có : \log_n(n+1)>\log_{n+1}(n+2).
Câu 2. (Đề chọn học sinh giỏi Quảng Bình năm học 2019-2020, tháng 12/2019)
Cho các số thực phân biệt a,b >1 . Chứng minh rằng: \log_a(\log_a b)>\log_b(\log_a b).
Câu 3. (Đề chọn học sinh giỏi Quảng Bình năm học 2019-2020, tháng 12/2019)
Cho n số thực a_1>a_2>...>a_n>1, n \geq 2.
Chứng minh rằng:
\log_{a_1}(\log_{a_1}a_2) + \log_{a_2}(\log_{a_2}a_3) + ... + \log_{a_{n-1}}(\log_{a_{n-1}}a_n)+\log_{a_n}(\log_{a_n}a_1)>0.
Câu 1.
Cách 1.
Xét hàm số f(t)=\log_t(t+1), \ \ t \in (1;+\infty).
Ta viết lại f(t)=\frac{\ln(t+1)}{\ln t}.
Ta có: f'(t)=\frac{t\ln t-(t+1)\ln(t+1)}{t(t+1)\ln^2t}<0, \forall t \in (1;+\infty).
Cách 2. (của bạn Xuân Tùng)
Áp dụng bđt Cauchy: \log_n^2(n+1)+1 \geq 2\log_n(n+1)=\log_n(n^2+2n+1)>\log_n(n^2+2n)=\log_n(n+2)+1
Suy ra \log_n^2(n+1) > \log_n(n+2) \Rightarrow \log_n(n+1)>\frac{\log_n(n+2)}{\log_n(n+1)}=\log_{n+1}(n+2).
Cách 3. (của bạn Nguyên An)
Ta có \log_n(n+1)+\log_{n+1}n \geq 2\sqrt{\log_n(n+1)\log_{n+1}n} \ \ =2.
Trong khi
\log_{n+1}(n+2)+\log_{n+1}n=\log_{n+1}(n^2+2n) < \log_{n+1}(n+1)^2=2.
Câu 2. Đặt t=\log_a b \Rightarrow b=a^t.
Do a, b>1 nên t >0, t \neq 1.
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành \log_at>\log_{a^t}t \Leftrightarrow (t-1)\log_at>0.
- Nếu t>1 thì t-1>0 và \log_at >0.
- Nếu 0< t <1 thì t-1< 0 và \log_at < 0
Đề bài
Câu 1. (Đề chọn học sinh giỏi Quảng Bình năm học 2018-2019, tháng 3/2019)Chứng minh rằng với mọi số nguyên n>1, ta có : \log_n(n+1)>\log_{n+1}(n+2).
Câu 2. (Đề chọn học sinh giỏi Quảng Bình năm học 2019-2020, tháng 12/2019)
Cho các số thực phân biệt a,b >1 . Chứng minh rằng: \log_a(\log_a b)>\log_b(\log_a b).
Câu 3. (Đề chọn học sinh giỏi Quảng Bình năm học 2019-2020, tháng 12/2019)
Cho n số thực a_1>a_2>...>a_n>1, n \geq 2.
Chứng minh rằng:
\log_{a_1}(\log_{a_1}a_2) + \log_{a_2}(\log_{a_2}a_3) + ... + \log_{a_{n-1}}(\log_{a_{n-1}}a_n)+\log_{a_n}(\log_{a_n}a_1)>0.
Lời giải
Câu 1.
Cách 1.
Xét hàm số f(t)=\log_t(t+1), \ \ t \in (1;+\infty).
Ta viết lại f(t)=\frac{\ln(t+1)}{\ln t}.
Ta có: f'(t)=\frac{t\ln t-(t+1)\ln(t+1)}{t(t+1)\ln^2t}<0, \forall t \in (1;+\infty).
Do đó f nghịch biến trên (1;+\infty).
Suy ra f(n)>f(n+1), hay \log_n(n+1)>\log_{n+1}(n+2), \ \forall n>1.Cách 2. (của bạn Xuân Tùng)
Áp dụng bđt Cauchy: \log_n^2(n+1)+1 \geq 2\log_n(n+1)=\log_n(n^2+2n+1)>\log_n(n^2+2n)=\log_n(n+2)+1
Suy ra \log_n^2(n+1) > \log_n(n+2) \Rightarrow \log_n(n+1)>\frac{\log_n(n+2)}{\log_n(n+1)}=\log_{n+1}(n+2).
Cách 3. (của bạn Nguyên An)
Ta có \log_n(n+1)+\log_{n+1}n \geq 2\sqrt{\log_n(n+1)\log_{n+1}n} \ \ =2.
Trong khi
\log_{n+1}(n+2)+\log_{n+1}n=\log_{n+1}(n^2+2n) < \log_{n+1}(n+1)^2=2.
Suy ra điều phải chứng minh.
Câu 2. Đặt t=\log_a b \Rightarrow b=a^t.
Do a, b>1 nên t >0, t \neq 1.
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành \log_at>\log_{a^t}t \Leftrightarrow (t-1)\log_at>0.
- Nếu t>1 thì t-1>0 và \log_at >0.
- Nếu 0< t <1 thì t-1< 0 và \log_at < 0
Cả hai trường hợp đều chứng tỏ bất đẳng thức cuối cùng đúng. Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh.
Theo FB MathVn. Người đăng: Sơn Phan.
